ΛΥΣΗ
α)
i. Η δέσμη νερού φτάνει στο έδαφος όταν το ύψος \(υ(x)=-0,13x^{2}+x+3\) μηδενίζεται. Έτσι διαδοχικά έχουμε:

$$υ(x)=0-0,13x^{2}+x+3=013x^{2}-100x-300=0$$

Η εξίσωση αυτή είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα

$$Δ=(-100)^{2}-4\cdot 13\cdot (-300)= 10.000+15.600=25.600$$

και ρίζες

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-100)\pm \sqrt{25.600}}{2\cdot 13}=\dfrac{100\pm 160}{26}$$

από όπου προκύπτει \(x=10\) (δεκτή), ή \(x=-\dfrac{30}{13}\) (που απορρίπτεται επειδή \(x>0\)). Επομένως το νερό φτάνει στο έδαφος σε απόσταση \(10\) μέτρων από το όχημα.

ii. Τη στιγμή που η δέσμη βρίσκεται σε ύψος \(4\) μέτρων ισχύει:

$$υ(x)=4-0,13x^{2}+x+3=4-0,13x^{2}+x-1=0$$ $$13x^{2}-100x+100=0$$

Η τελευταία εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα

$$Δ=(-100)^{2}-4\cdot 13\cdot 100=10.000-5.200=4.800$$

και ρίζες

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-100)\pm\sqrt{4.800}}{2\cdot 13}=\dfrac{100\pm 69}{26}$$

από όπου προκύπτει

$$x_{1}=\dfrac{31}{26}\approxeq 1,2\text{ και }x_{2}=6,5$$

Οπότε για να φθάσει στο έδαφος η δέσμη νερού, δηλαδή στα \(10m\) από το πυροσβεστικό, θα πρέπει να διανύσει άλλα \(8,8m\), αν βρίσκεται στη θέση \(x_{1}\) και άλλα \(3,5 m\), αν βρίσκεται στη θέση \(x_{2}\).

β)
i. Επειδή η φωτιά βρίσκεται σε ύψος \(9\) μέτρων, για να τη φτάσει η δέσμη νερού που θα εκτοξεύσει το πυροσβεστικό, θα πρέπει το πυροσβεστικό να τοποθετηθεί στις θέσεις \(x\), για τις οποίες ισχύει \(h(x)\ge 9\) από όπου ισοδύναμα έχουμε:

$$-x^{2}+10x\ge 9x^{2}-10x+9\le 0$$

που αποτελεί ανίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα

$$Δ=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$$

και ρίζες

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}=\dfrac{10\pm 8}{2}$$ $$\text{ή }x_{1}=1, x_{2}=9$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-10x+9\) είναι ετερόσημο του \(α=1\), δηλαδή αρνητικό ή ίσο με το μηδέν στο κλειστό διάστημα μεταξύ των ριζών του. Επομένως, ισχύει \(h(x)\ge 9\) για \(x\in [1, 9]\), δηλαδή το πυροσβεστικό θα πρέπει να απέχει οριζόντια απόσταση \(1\ m\) έως \(9\ m\) από τη φωτιά, για να τη φτάνει.

ii. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε οριζόντια απόσταση \(x\) της δέσμης από το πυροσβεστικό όχημα ισχύει ότι:

$$h(x)\le 25\text{ ή }-x^{2}+ 10x\le 25x^{2}- 10x+25\ge 0(x-5)^{2}\ge 0$$

που είναι προφανές για οποιαδήποτε τιμή του \(x\). Συνεπώς, οποιαδήποτε φωτιά βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο των \(25\) μέτρων δεν μπορεί να τη φτάσει το πυροσβεστικό όχημα με τη συγκεκριμένη ρύθμιση της δέσμης νερού.