Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1689 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38918 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38918 | ||
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Τα κυλινδρικά μεταλλικά δοχεία (κονσέρβες) παράγονται σε εκατομμύρια, οπότε οποιαδήποτε εξοικονόμηση μπορεί να γίνει στην κατασκευή τους είναι σημαντική. Μέρος του κόστους κατασκευής τους εξαρτάται από την ποσότητα του μετάλλου που χρησιμοποιείται, επομένως είναι λογικό να επιδιώκεται ο σχεδιασμός κουτιών που απαιτούν την ελάχιστη δυνατή ποσότητα μετάλλου που θα περικλείει ορισμένο όγκο.
Το πιο δημοφιλές μέγεθος κυλινδρικού μεταλλικού δοχείου (κονσέρβα), με το οποίο θα ασχοληθούμε στη συνέχεια του προβλήματος, περιέχει όγκο \(V=440\ ml\) περίπου.
Η επιφάνεια του κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση \(Ε=2πrh+2πr^{2}\) και ο όγκος του από την σχέση \(V=πr^{2}h\), όπου \(r\) είναι η ακτίνα της βάσης και \(h\) το ύψος του κυλίνδρου.
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια \(Ε\) της κονσέρβας ως συνάρτηση της ακτίνας \(r>0\) είναι η \(Ε(r)=\dfrac{880}{r}+2πr^{2}\).
(Μονάδες 8)
β) Οι κατασκευαστές αποφάσισαν να δοκιμάσουν η ακτίνα \(r\) της κονσέρβας να παίρνει τιμές μεταξύ \(2\ cm\) και \(8\ cm\), για να δουν αν για κάποια τιμή της ακτίνας στο διάστημα αυτό θα ελαχιστοποιηθεί η επιφάνεια του δοχείου, άρα και η ποσότητα του μετάλλου που απαιτείται για την κατασκευή του. Να δείξετε ότι η επιφάνεια \(Ε\) της κονσέρβας παίρνει τιμές μεταξύ \(110+8π\) και \(440+128π\).
(Μονάδες 9)
γ) Στο σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(E(r)=\dfrac{880}{r}+2πr^{2}\), για \(2 < r < 8\) . Παρατηρούμε ότι για \(r=4,1\ cm\) , η επιφάνεια της κονσέρβας παίρνει την τιμή \(Ε=320,2\ ml\), που είναι η μικρότερη δυνατή.
i. Είναι η τιμή αυτή του εμβαδού μια τιμή μεταξύ των τιμών που βρήκατε στο β) ερώτημα; Να εξηγήσετε την απάντησή σας
(Μονάδες 2)
ii. Να βρείτε το ύψος της κονσέρβας στην περίπτωση αυτή. Τι σχέση έχει το ύψος με την ακτίνα του κυλινδρικού δοχείου, όταν ελαχιστοποιείται η ποσότητα του μετάλλου;
(Μονάδες 6)
Δίνεται ότι \(16,81π\approxeq 53\)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε
$$V=πr^{2}h$$ $$\Leftrightarrow 440=πr^{2}h$$ $$\Leftrightarrow h=\dfrac{440}{πr^{2}}$$
Οπότε η σχέση \(Ε=2πrh+2πr^{2}\) γίνεται:
$$Ε=2πr\cdot \dfrac{440}{πr^{2}}+2πr^{2}=\dfrac{880}{r}+2πr^{2}$$
β) Έχουμε \(2<r<8\), οπότε
$$4 < r^{2} < 64$$ $$\text{και τελικά }8π < 2πr^{2} < 128π\ \ \ \ (1)$$
Επίσης \(2<r<8\), οπότε
$$\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{r}>\dfrac{1}{8} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}<\dfrac{1}{r}<\dfrac{1}{2}$$
οπότε
$$\dfrac{880}{8} < \dfrac{880}{r} < \dfrac{880}{2}$$
και τελικά
$$110 < \dfrac{880}{r}<440\ \ \ \ (2)$$
Προσθέτουμε τις \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη και προκύπτει \(110+8π < Ε < 440+128π\).
γ)
i. Από το β) ερώτημα έχουμε \(110+8π < Ε < 440+128π\). Ισχύει
$$110+8π < 320,2 < 440+128$$
οπότε είναι μεταξύ των τιμών που βρήκαμε στο β) ερώτημα.
ii. Για \(r=4,1\ cm\), η σχέση \(h=\dfrac{440}{πr^{2}}\) γίνεται:
$$h=\dfrac{440}{π4,1^{2}}$$ $$=\dfrac{440}{16,81π}\approxeq \dfrac{440}{53}\approxeq 8,3$$
Οπότε το ύψος είναι περίπου διπλάσιο της ακτίνας. Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι η ποσότητα του μετάλλου ελαχιστοποιείται, όταν η ακτίνα της κονσέρβας είναι \(r=4,1\ cm\) και το ύψος της περίπου διπλάσιο αυτής.