Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1803 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38920 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38920 | ||
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένας μηχανικός έχει αναλάβει να σχεδιάσει μια υπόγεια δεξαμενή αποθήκευσης νερού σε ορθογώνιο σχήμα. Η δεξαμενή πρέπει να πληροί συγκεκριμένες τεχνικές και φυσικές προδιαγραφές για λόγους ασφαλείας, λειτουργικότητας και περιβαλλοντικής προστασίας.
Η χωρητικότητα της δεξαμενής δίνεται από τον τύπο \(V=L\cdot W\cdot H\), όπου \(L\) είναι το μήκος, \(W\) το πλάτος και \(H\) το βάθος της δεξαμενής.
Για λόγους σχετικούς με την πίεση ο μηχανικός θέλει το ιδανικό βάθος \(Η\) της δεξαμενής να είναι \(3\) μέτρα και να ικανοποιεί ταυτόχρονα και την εξής σχέση: \(∣H-3∣\le 1\).
α) Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη:
1. Το ιδανικό βάθος της δεξαμενής μπορεί να είναι \(3\) μέτρα, αλλά επιτρέπεται και μία απόκλιση \(\pm 1\) μέτρο.
2. Το βάθος της δεξαμενής δεν μπορεί να είναι περισσότερο από \(4\) μέτρα.
3. Το βάθος της δεξαμενής μπορεί να είναι από \(1\) έως \(3\) μέτρα.
4. Το βάθος της δεξαμενής δεν μπορεί να διαφέρει από το ιδανικό βάθος \(3\) μέτρων περισσότερο από \(1\) μέτρο.
(Μονάδες 5)
β) Ποιο είναι το διάστημα τιμών τις οποίες μπορεί να πάρει το βάθος της δεξαμενής \(Η\) σύμφωνα με την παραπάνω σχέση;
(Μονάδες 5)
γ) Ο μηχανικός δεν θέλει, επίσης, το βάθος της δεξαμενής να φτάσει πολύ κοντά στον υδροφόρο ορίζοντα που βρίσκεται στα \(3,5\) μέτρα βάθος, ώστε να αποφύγει την εισροή νερού, την καταστροφή του έργου ή τη ρύπανση του υπόγειου νερού. (Ο υδροφόρος ορίζοντας είναι το υπόγειο επίπεδο στο οποίο το έδαφος είναι πλήρως κορεσμένο με νερό.) Γι’ αυτό, για το βάθος \(Η\) της δεξαμενής, υπάρχει o περιορισμός ότι το κάτω μέρος της δεξαμενής πρέπει να απέχει τουλάχιστον \(0,5\) μέτρα από τον υδροφόρο ορίζοντα.
Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του βάθους \(Η\) της δεξαμενής που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη;
(Μονάδες 5)
δ) Να υπολογίσετε τις δυνατές τιμές του βάθους \(Η\) της δεξαμενής, οι οποίες ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις δύο παραπάνω συνθήκες που θέτει ο μηχανικός.
(Μονάδες 5)
ε) Αν για τις διαστάσεις \(L,H\) και \(W\) ισχύουν οι ακόλουθοι περιορισμοί: \(4\le L\le 6,\) \(2\le Η\le 3\) και \(6\le W\le 7\), ποιες είναι οι δυνατές τιμές της χωρητικότητας της δεξαμενής;
(Μονάδες 5)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Η λανθασμένη πρόταση είναι η \(3\).
β) Έχουμε:
$$∣H-3∣\le 1$$ $$\Leftrightarrow -1\le H-3\le 1$$ $$\Leftrightarrow -1+3\le H\le 1+3$$ $$\Leftrightarrow 2\le H\le 4 \ \ \ \ (1)$$
γ) Η συνθήκη που περιγράφεται πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση:
$$∣H-3,5∣\ge 0,5$$ $$\Leftrightarrow Η-3,5\le -0,5\text{ ή }Η-3,5\ge 0,5$$ $$\Leftrightarrow Η\le 3,5-0,5\text{ ή }Η\ge 3,5+0,5$$ $$\Leftrightarrow Η\le 3\text{ ή }Η\ge 4$$
To \(Η\ge 4\) απορρίπτεται γιατί το βάθος της δεξαμενής δεν μπορεί να ξεπερνάει τον υδροφόρο ορίζοντα, ο οποίος είναι στα \(3,5\ m\). Άρα με την παραπάνω συνθήκη προκύπτει ότι το βάθος της δεξαμενής μπορεί να είναι: \(Η\le 3\ \ \ (2)\).
δ) Θα βρούμε τις κοινές λύσεις των \((1)\) και \((2)\):
Κοινές λύσεις: \(2\le Η\le 3\).
ε) Θα πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισώσεις: \(4\le L\le 6\) \(, 6\le W\le 7\) και \(2\le Η\le 3\)
$$4\cdot 6\cdot 2\le L\cdot W\cdot H\le 6\cdot 7\cdot 3$$ $$\Leftrightarrow 48 m^{3}\le V\le 126\ m^{3}$$