Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2075 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38922 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38922 | ||
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένα πλοίο εκτελεί δρομολόγια από το λιμάνι \(Α\) προς το λιμάνι \(Β\) ενός ποταμού και αντίστροφα. Γνωρίζουμε ότι η απόσταση που διανύει το πλοίο για να πάει από το ένα λιμάνι στο άλλο είναι \(40\ km\). Επίσης, ο ποταμός κυλάει από το λιμάνι \(Α\) προς το λιμάνι \(Β\) με ταχύτητα \(5\ km/h\). Επομένως, για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του πλοίου ως προς τη στεριά, στην ταχύτητα \(v\) με την οποία κινείται από τις μηχανές του, προσθέτουμε ή αφαιρούμε \(5\ km/h\), ανάλογα με το αν αυτό κινείται μαζί με το ρεύμα του ποταμού ή κόντρα σε αυτό.
α) Στο Σχήμα 1 φαίνεται η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι \(Α\), καθώς κινείται προς το λιμάνι \(Β\) σε σχέση με τον χρόνο.
i. Να υπολογίσετε την ταχύτητα \(v\) που προσδίδουν οι μηχανές στο πλοίο.
(Μονάδες 6)
ii. Να υπολογίσετε πόσο χρόνο θα χρειαστεί το πλοίο, για να επιστρέψει από το λιμάνι \(Β\) στο λιμάνι \(Α\).
(Μονάδες 5)
β)
i. Αν το πλοίο αναχώρησε σχεδόν αμέσως από το λιμάνι \(Β\) προς το λιμάνι \(Α\), να μεταφέρετε στο γραπτό σας το Σχήμα 1 και να συμπληρώσετε σε αυτό τη γραφική παράσταση της απόστασης του πλοίου από το λιμάνι \(Α\) σε σχέση με τον χρόνο, καθώς επιστρέφει από το λιμάνι \(Β\).
(Μονάδες 6)
ii. Κατά τη διάρκεια της διαδρομής του από το λιμάνι \(Α\) στο \(Β\) και πίσω, ποια χρονικά διαστήματα η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι \(Α\) ήταν μικρότερη από την απόστασή του από το λιμάνι \(Β\);
(Μονάδες 8)
(Δίνεται ότι ένα κινητό, που κινείται με σταθερή ταχύτητα \(v\) για χρόνο \(t\), διανύει διάστημα \(S=vt\)).
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι το πλοίο διήνυσε απόσταση \(40\ km\) σε \(2\) ώρες, άρα
$$40=(v+5)2$$
οπότε
$$v+5=20$$
δηλαδή
$$v=15\ km/h$$
ii. Κατά την επιστροφή του από το λιμάνι \(Β\) στο λιμάνι \(Α\) το πλοίο κινείται ως προς τη στεριά με ταχύτητα \(15-5=10\ km/h\). Άρα \(40=10t\), οπότε το πλοίο θα χρειαστεί \(t=\dfrac{40}{10}=4h\), για να επιστρέψει από το λιμάνι \(Β\) στο \(Α\).
β)
i. Επειδή η απόσταση που διανύει το πλοίο, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι ανάλογη το χρόνου, η γραφική παράσταση είναι ευθεία. Επίσης, για \(t=2\) το πλοίο βρίσκεται στο λιμάνι \(Β\), οπότε ένα σημείο της γραφικής παράστασης είναι \((2,40)\). Επιπλέον, από το ερώτημα αii). γνωρίζουμε ότι, για να επιστρέψει από το Λιμάνι \(Β\) στο \(Α\), χρειάζεται \(4\) ώρες, άρα συνολικά \(6\) ώρες από τη στιγμή που ξεκίνησε από το λιμάνι \(Α\). Άρα ένα δεύτερο σημείο είναι το \((6,0)\). Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση, ενώνουμε τα δύο αυτά σημεία.
ii. Το πλοίο βρίσκεται πιο κοντά στο λιμάνι \(Α\), όταν έχει διανύσει λιγότερο από τη μισή απόσταση, δηλαδή όταν απέχει λιγότερο από \(20\ km\) από αυτό. Στη γραφική παράσταση της θέσης του σημείου σε σχέση με τον χρόνο, αυτό αντιστοιχεί στα σημεία με τεταγμένη μικρότερη του \(20\). Οι τετμημένες των σημείων αυτών ανήκουν στα διαστήματα \([0,1)\) και \((4,6]\) Άρα το πλοίο βρίσκεται πιο κοντά στο λιμάνι \(Α\), αν \(t\in [0,1)\cup (4,6]\).
