Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2670 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38924 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38924 | ||
| Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Μια εταιρεία κατασκευής κεριών έχει ένα είδος κεριού, το οποίο καίγεται κατά \(0,1\cdot t^{2}\) εκατοστά, όπου \(t\) είναι ο χρόνος σε λεπτά από την στιγμή που ανάβουμε το κερί.
α) Ανάβουμε ένα τέτοιο κερί ύψους \(12\) εκατοστών στις \(12:00\) π.μ.
i. Στις \(12:05\) π.μ. τι μέρος του κεριού θα έχει καεί;
(Μονάδες 6)
ii. Να αποδείξετε ότι στις \(12:11\) π.μ. θα έχει καεί ολόκληρο το κερί.
(Μονάδες 7)
β) Αν \(l\) είναι το ύψος ενός κεριού από το παραπάνω είδος, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση του ύψους του κεριού που δεν έχει καεί ακόμα μετά από \(t\) λεπτά που είναι αναμμένο, δίνεται από τον τύπο \(l-0,1\cdot t^{2}\).
(Μονάδες 3)
γ)
i. Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας οι τιμές εκφράζουν το ύψος ενός αναμμένου κεριού με αρχικό ύψος \(15\) εκατοστά μετά από \(t\) λεπτά που είναι αναμμένο.
(Μονάδες 4)
ii. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική της συνάρτησης του ύψους ενός αναμμένου κεριού με ύψος \(15\) εκατοστά και ενός δεύτερου αναμμένου κεριού του ίδιου είδους αλλά διαφορετικού αρχικού ύψους.
Ποιο θα είναι το ύψος του κάθε κεριού μετά από \(10\) λεπτά που είναι αναμμένα;
(Μονάδες 5)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Στις \(12:05\) π.μ. θα έχουν περάσει \(5\) λεπτά από την ώρα που ανάψαμε το κερί και, σύμφωνα με τον τύπο \(0,1\cdot t^{2}\), για \(t=5\) θα έχουν καεί \(0,1\cdot 5^{2}=0,1\cdot 25=2,5\) εκατοστά του κεριού.
Αυτό αντιστοιχεί στα \(\dfrac{2,5}{12}=\dfrac{5}{24}\) του αρχικού ύψους του κεριού.
ii. Σε \(11\) λεπτά θα έπρεπε να έχουν καεί \(0,1\cdot 11^{2}=0,1\cdot 121=12,1\) εκατοστά αυτού του τύπου κεριού. Όμως το κερί έχει μήκος \(12\) εκατοστά, άρα θα καεί ολόκληρο σε λιγότερο από \(11\) λεπτά.
Άλλος τρόπος:
Το κερί έχει ύψος \(12\) εκατοστά. Αν \(t\) είναι ο χρόνος που είναι αναμμένο, σε λεπτά, τότε:
$$0,1\cdot t^{2}=12$$ $$t^{2}=12:0,1$$ $$t^{2}=120$$ $$t=\sqrt{120} < \sqrt{121}=11$$
Ο χρόνος \(t\) είναι κάτι λιγότερο από \(11\) λεπτά.
Άρα στις \(12:11\) π.μ. θα έχει καεί ολόκληρο το κερί.
β) Σε \(t\) λεπτά που είναι αναμμένο, το ύψος του κεριού μειώνεται κατά \(0,1t^{2}\) εκατοστά. Αν το αρχικό ύψος του κεριού είναι \(l\) εκατοστά, τότε μετά από \(t\) λεπτά το ύψος του κεριού είναι:
$$l-0,1t^{2}$$
γ)
i. Από το ερώτημα β, για \(l=15\) έχουμε \(f(t)=15-0,1t^{2}\), όπου \(t\) είναι ο χρόνος σε λεπτά που είναι αναμμένο το κερί.
ii. Η μία από τις δύο γραφικές παραστάσεις διέρχεται από το σημείο \((0,15)\), που σημαίνει ότι, για \(t=0\) λεπτά που είναι αναμμένο, δηλαδή τη στιγμή ακριβώς που άναψε το κερί, το ύψος του ήταν \(15\) εκατοστά. Για \(t=10\), το σημείο της γραφικής παράστασης είναι το \((10, 5)\), που σημαίνει ότι το ύψος του κεριού μετά από \(10\) λεπτά θα είναι \(5\) εκατοστά.
Αυτό επαληθεύεται και από τον τύπο \(f(t)=15-0,1t^{2}\), που για \(t=10\) δίνει:
$$f(10)=15-0,1\cdot 10^{2}=15-10=5$$
Η άλλη γραφική παράσταση αντιστοιχεί στο δεύτερο κερί. Για \(t=10\), το σημείο της γραφικής παράστασης είναι το \((10, 10)\), που σημαίνει ότι το ύψος του κεριού μετά από \(10\) λεπτά θα είναι \(10\) εκατοστά.
Αυτό επαληθεύεται και με υπολογισμούς.
Η γραφική παράσταση του δεύτερου κεριού διέρχεται από το \((0, 20)\), που σημαίνει ότι το δεύτερο κερί είχε αρχικό ύψος \(20\) εκατοστά, άρα η αντίστοιχη συνάρτηση έχει τύπο:
$$g(t)=20-0,1t^{2}$$
Αντικαθιστώντας \(t=10\), έχουμε \(g(10)=20-0,1\cdot 10^{2}=20-10=10\).