Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 3750 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38925 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38925 | ||
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ο Βαγγέλης σκέφτηκε να επενδύσει συνολικά \(20.000\) ευρώ από την 1η Ιανουαρίου και για \(4\) μήνες ως εξής:
- Πρώτη επένδυση: Για το μισό ποσό παρακολουθούσε ο ίδιος την επένδυση και κάθε μήνα επανασχεδίαζε το πλάνο του, επενδύοντας ξανά όλο το ποσό που προέκυπτε στο τέλος του προηγούμενου. Έτσι για τον πρώτο μήνα επένδυσε το ποσό με κέρδος \(3\%\). Στη συνέχεια επένδυσε το ποσό που προέκυψε με κέρδος \(8\%\) για καθέναν από τους επόμενους δύο μήνες, ενώ τον τελευταίο μήνα διατήρησε το συνολικό ποσό στην ίδια επένδυση χάνοντας \(5\%\).
- Δεύτερη επένδυση: Τα άλλα μισά χρήματα τα άφησε για \(4\) μήνες στην ίδια επένδυση, χωρίς να τα παρακολουθεί, με σταθερό και εξασφαλισμένο κέρδος \(4\%\) κάθε μήνα.
Έχει αποφασίσει ότι στο τέλος του πρώτου τετραμήνου θα αποσύρει τα κέρδη του και θα επενδύσει όλο το αρχικό κεφάλαιο σε μία μόνο επένδυση για τον υπόλοιπο χρόνο (άλλους \(8\) μήνες).
α) Να αποδείξετε ότι ο Βαγγέλης κέρδισε το πρώτο τετράμηνο:
i. περίπου \(1.413\) ευρώ από την πρώτη επένδυση
(Μονάδες 6)
ii. περίπου \(1.700\) ευρώ από τη δεύτερη επένδυση
(Μονάδες 7)
β) Τι κέρδος θα έχει ο Βαγγέλης αν αποφασίσει να ακολουθήσει τη δεύτερη επένδυση για τον υπόλοιπο χρόνο, επενδύοντας τα \(20.000\) ευρώ;
(Μονάδες 6)
γ) Μια επενδυτική σύμβουλος, η Αθηνά, είπε στον Βαγγέλη ότι μπορεί να αναλάβει η ίδια να παρακολουθεί τα χρήματα στην πρώτη επένδυση και στο τέλος να πάρει ως αμοιβή το \(10\%\) των συνολικών κερδών του. Επίσης, εγγυήθηκε ότι το κέρδος του Βαγγέλη θα είναι από \(4\%\) έως \(6\%\), κάθε μήνα. Να ετοιμάσετε για τον Βαγγέλη μια συγκριτική παρουσίαση των κερδών του σε ευρώ με την επένδυση της Αθηνάς και με την επένδυση του β ερωτήματος, ώστε να τον βοηθήσετε να αποφασίσει ποια θα ακολουθήσει για τον υπόλοιπο χρόνο.
(Μονάδες 6)
Δίνονται:
$$1,03\cdot 1,08^{2}\cdot 0,95=1,141322$$ $$1,04^{4}=1,169859$$ $$1,04^{8}\approxeq 1,3686$$ $$1,06^{8}\approxeq 1,5938$$
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Ο Βαγγέλης επένδυσε στην πρώτη επένδυση \(10.000\) ευρώ.
- Τον πρώτο μήνα το \(3\%\) κέρδος αντιστοιχεί σε \(\dfrac{3}{100}\) του ποσού που επενδύθηκε (των \(10.000\)). Έτσι το τελικό ποσό (αυτό που επενδύθηκε μαζί με τα κέρδη στο τέλος το μήνα) είναι \(\dfrac{103}{100}\) του ποσού που επενδύθηκε. Συνεπώς, το ποσό που επενδύθηκε πολλαπλασιάστηκε με \(1,03\) και προέκυψε το τελικό ποσό στο τέλος του πρώτου μήνα.
Ομοίως, για τους επόμενους μήνες:
- Τον δεύτερο μήνα το ποσό που προέκυψε από τον πρώτο πολλαπλασιάστηκε με \(1,08\).
- Τον τρίτο μήνα το ποσό που προέκυψε από τον δεύτερο πολλαπλασιάστηκε με \(1,08\).
- Τον τέταρτο μήνα το ποσό που προέκυψε από τον τρίτο πολλαπλασιάστηκε με \(0,95\).
Επομένως, συνολικά οι \(10.000\) πολλαπλασιάστηκαν με
$$1,03\cdot 1,08^{2}\cdot 0,95=1,1413224$$
Άρα το ποσό που προέκυψε στο τέλος του πρώτου τετραμήνου από την πρώτη επένδυση ήταν \(1,141322\cdot10.000=11.413,22\) ευρώ.
Άρα το κέρδος από την πρώτη επένδυση ήταν \(1.413,224\) ευρώ, δηλαδή περίπου \(1.413\) ευρώ.
ii. Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι οι \(10.000\) ευρώ της δεύτερη επένδυσης πολλαπλασιάστηκαν με \(1,04^{4}=1,169859\).
Άρα το ποσό που προέκυψε ήταν \(11.698,59\) ευρώ.
Επομένως, το κέρδος ήταν \(1.698,59\) ευρώ, δηλαδή \(1.700\) ευρώ περίπου.
β) Για τους υπόλοιπους \(8\) μήνες ο Βαγγέλης θα επενδύσει συνολικά \(20.000\), εφόσον θα αποσύρει τα κέρδη του. Αν ο Βαγγέλης ακολουθήσει τη δεύτερη επένδυση, τότε το ποσό που θα προκύψει θα είναι \(1,04^{8}\cdot 20.000\approxeq 1,3686\cdot 20.000=27.372\) ευρώ, δηλαδή θα έχει κέρδος \(7.372\) ευρώ.
γ) Αν ακολουθήσει την πρώτη επένδυση με τη βοήθεια της Αθηνάς, τότε:
- Το μικρότερο κέρδος θα είναι \(4 \%\) για κάθε μήνα. Σε αυτή την περίπτωση το ποσό που θα προκύψει στο τέλος του χρόνου θα είναι \(1,04^{8}\cdot 20.000\approxeq 27.372\) ευρώ.
Τα συνολικά του κέρδη θα είναι \(7.372\) ευρώ.
Από αυτό θα αφαιρεθεί η αμοιβή της Αθηνάς, που είναι το \(10 \%\) των \(7.372\) ευρώ,δηλαδή \(0,1\cdot 7.372=737,2\) ευρώ. Άρα το τελικό κέρδος του Βαγγέλη θα είναι \(7.372-737,2=6.634,8\) ευρώ. - Το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος θα είναι \(6 \%\) για κάθε μήνα. Σε αυτή την περίπτωση το ποσό που θα προκύψει στο τέλος του χρόνου θα είναι: \(1,06^{8}\cdot 20.000\approxeq 1,5938\cdot 20.000=31.876\text{ ευρώ}\). Τα συνολικά του κέρδη θα είναι \(11.876\) ευρώ. Από αυτά θα αφαιρεθεί η αμοιβή της Αθηνάς, που είναι το \(10\%\) των \(11.876\) ευρώ, δηλαδή \(0,1\cdot 11.876=1.187,6\) ευρώ. Άρα το τελικό κέρδος του Βαγγέλη θα είναι \(11.876-1.187,6=10.688,4\) ευρώ.
Συνεπώς, το κέρδος του Βαγγέλη με την πρώτη επένδυση θα είναι μεταξύ \(6.634,8\) ευρώ και \(10.688,4\) ευρώ.
Με τη δεύτερη επένδυση, από το β ερώτημα, το κέρδος του θα είναι \(7.372\) ευρώ.
Άρα, αν επιλέξει τον πρώτο τρόπο μπορεί να κερδίσει από \(737,2\) ευρώ λιγότερα έως \(3.316,4\) ευρώ περισσότερα από εκείνα που θα κέρδιζε με τον δεύτερο τρόπο.