Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2461 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38928 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38928 | ||
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένας αγρότης αγόρασε \(α\) μέτρα συρματόπλεγμα, για να περιφράξει μια επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου. Η μία πλευρά του ορθογωνίου αποτελείται από έναν τοίχο που ήδη υπάρχει, όπως φαίνεται στο σχήμα.
α) Αν το συρματόπλεγμα έχει μήκος \(α=60\ m\) και το πλάτος της ορθογώνιας επιφάνειας που θέλει να περιφράξει ο αγρότης είναι \(x m\), τότε:
i. Να εκφράσετε το μήκος \(l\) της πλευράς που αντιστοιχεί στον τοίχο ως συνάρτηση του \(x\) Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το μήκος \(x\) ;
(Μονάδες 3)
ii. Να δείξετε ότι το εμβαδόν \(Ε\) της επιφάνειας δίνεται από τη σχέση
$$Ε=-2x^{2}+60xm^{2}$$ (Μονάδες 4)
β) Αν ο αγρότης θέλει το εμβαδόν \(Ε\) της επιφάνειας που θα περιφράξει με το συρματόπλεγμα μήκους \(α=60\ m\) να είναι τουλάχιστον \(400\ m^{2}\), τότε:
i. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το πλάτος \(x\) ;
(Μονάδες 6))
ii. Πόσο μπορεί να είναι το μήκος \(l\) της πλευράς που αντιστοιχεί στον τοίχο;
(Μονάδες 6)
γ) Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα πρέπει να αγοράσει ο αγρότης για να είναι σίγουρος ότι μπορεί να περιφράξει επιφάνεια \(800\ m^{2}\) ;
(Μονάδες 6)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
Το μήκος της πλευράς του τοίχου είναι ίσο με το μήκος του συρματοπλέγματος που μένει, αν αφαιρέσουμε \(2x\), που είναι το συνολικό μήκος των πλαϊνών πλευρών. Επομένως, είναι ίσο με \(60-2x\). Επίσης, πρέπει \(0<2x<60\), δηλαδή \(0<x<30\). Άρα, τελικά \(l(x)=60-2x\), με \(0<x<30\).
Έχουμε ότι \(Ε=(60-2x)x=-2x^{2}+60x\), με \(0<x<30\).
β)
Πρέπει \(Ε\ge 400\) δηλαδή: \(-2x^{2}+60x\ge 400\) ή \(-x^{2}+30x-200\ge 0\).
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \(Δ=30^{2}-4(-1)(-200)=100\) και ρίζες \(x_{1}=\dfrac{-30+\sqrt{100}}{2(-1)}=\dfrac{-20}{-2}=10\) και \(x_{2}=\dfrac{-30-\sqrt{100}}{2(-1)}=\dfrac{-40}{-2}=20\). Θέλουμε το τριώνυμο να είναι θετικό, δηλαδή ετερόσημο του \((-1)\), άρα πρέπει \(10\le x\le 20\).
Είναι
$$10\le x\le 20$$
άρα$$-20\ge -2x\ge -40$$
οπότε$$40\ge 60-2x\ge 20$$
δηλαδή \(20\le l(x)\le 40\) .
γ) Αν το συρματόπλεγμα έχει μήκος \(αm\), τότε, όπως και στο ερώτημα α), βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του χώρου που θα περιφράξει δίνεται από τη σχέση \(Ε(x)=-2x^{2}+αx\). Για να μπορεί να περιφράξει έναν χώρο επιφάνειας \(800\ m^{2}\), πρέπει να έχει λύση η εξίσωση
$$Ε(x)=800$$
ή
$$-2x^{2}+αx=800$$
ή
$$-2x^{2}+αx-800=0$$
Για να έχει λύση η εξίσωση, πρέπει η διακρίνουσα \(Δ\) του τριωνύμου να μην είναι αρνητική, δηλαδή πρέπει
$$Δ\ge 0$$
ή
$$α^{2}-4(-2)(-800)\ge 0$$
ή
$$α^{2}-6400\ge 0$$
ή
$$α^{2}\ge 400$$
και επειδή \(α>0\), βρίσκουμε \(α\ge 80\).