ΘΕΜΑ 4

Μια εταιρεία, για να κατασκευάσει χαρτόκουτα ανοιχτά από πάνω, χρησιμοποιεί ένα ορθογώνιο χαρτόνι, κόβει στις τέσσερις γωνίες του τετράγωνα πλευράς \(x\ dm\), και στη συνέχεια διπλώνει τα πλαϊνά μέρη, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αν η βάση του κουτιού έχει διαστάσεις \(2\ dm\) και \(3\ dm\), να εκφράσετε το εμβαδόν \(Ε\) της επιφάνειας του αρχικού χαρτονιού ως συνάρτηση του ύψους \(x\) του κουτιού.
(Μονάδες 6)

β) Η εταιρεία θέλει να κατασκευάσει κουτιά με χωρητικότητα \(V=12\ dm^{3}\).

1. Αν θεωρήσουμε το πάχος του χαρτιού αμελητέο, ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του αρχικού χαρτονιού;
   (Μονάδες 4)

2. Η εταιρεία διαθέτει ένα μηχάνημα για να μετράει το μήκος \(x\) των πλευρών των τετραγώνων που πρέπει να κοπούν στις γωνίες του αρχικού χαρτονιού. Το μηχάνημα έχει ακρίβεια \(0,01dm\), δηλαδή το μήκος που μετράει απέχει το πολύ \(0,01dm\) από το επιθυμητό. Ποιες τιμές μπορεί να έχει η χωρητικότητα των κουτιών που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο;
   (Μονάδες 7)

γ) Η εταιρεία πρέπει να κατασκευάσει κουτιά διαφόρων μεγεθών, όλα όμως πρέπει να έχουν την ίδια βάση διαστάσεων \(2×3\ dm^{2}\). Επίσης, το κόστος του χαρτονιού ανά κουτί δεν πρέπει να ξεπερνά τα \(2,2\) €. Αν το χαρτόνι κοστίζει \(0,02\) € ανά \(dm^{2}\), ποιες μπορεί να είναι οι διαστάσεις του αρχικού χαρτονιού;
(Μονάδες 8)

(Δίνεται \(\sqrt{441}=21\) και ότι ο όγκος \(V\) ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις \(α, β\) και \(γ\) είναι \(V=α\cdot β\cdot γ\))

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.