Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 16219 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 12683 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Μαρ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 12683
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο και ύψος ίσο με το ένα τέταρτο του μήκους της.

α) Αν η δεξαμενή έχει όγκο \(16\ m^3\), να βρείτε τις διαστάσεις της.
(Μονάδες 8)

β) Λόγω έλλειψης χώρου η δεξαμενή ανακατασκευάζεται με βάση ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ύψος \(2\) μέτρα (όπως στο παρακάτω σχήμα). Αν το πλάτος της νέας δεξαμενής είναι κατά \(2\ m\) μικρότερο από το μήκος της υπολογίστε τις διαστάσεις της βάσης προκειμένου ο όγκος να παραμείνει \(16\ m^3\).
(Μονάδες 9)

γ) Αν η νέα δεξαμενή περιέχει \(10\ m^3\) πετρέλαιο να βρείτε το ύψος της στάθμης του πετρελαίου μέσα στη δεξαμενή.
(Μονάδες 8)

α) Γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής ισούται με το γινόμενο των τριών διαστάσεων της. Επειδή η δεξαμενή έχει βάση τετράγωνη θέτουμε \(x\) το μήκος και το πλάτος της οπότε το ύψος της θα είναι \(\frac{x}{4}\). Άρα ο όγκος της δεξαμενής \(V\) θα είναι:

$$V=x\cdot x\cdot \frac{x}{4}=\frac{x^3}{4}$$

Αφού η δεξαμενή έχει όγκο \(V=16m^3\) θα έχουμε:

\begin{align}&V=16\\ \iff&\frac{x^3}{4}=16\\ \iff&x^3=64\\ \iff&x=\sqrt[3]{64}\\ \iff&x=\sqrt[3]{4^3}\\ \iff&x=4m.\end{align}

Οπότε η δεξαμενή έχει μήκος και πλάτος ίσα με \(4m\) και ύψος ίσο με \(1m\).

β) Έστω \(x,\ (x>0)\) το μήκος της δεξαμενής. Τότε το πλάτος της θα είναι \(x-2\) και ο όγκος της δεξαμενής θα ισούται με \(V=2x(x-2)\).
Οπότε έχουμε:

\begin{align}&V=16\\ \iff&2x(x-2)=16\\ \iff&x(x-2)=8\\ \iff&x^2-2𝑥=8\\ \iff&x^2-2𝑥-8=0\end{align}

Έχουμε

\begin{align}Δ=&β^2-4\cdot α\cdot γ\\ =&(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)\\ =&4+32\\ =&36>0.\end{align}

Τότε:

\begin{align}&x_{1,2}=\frac{-β\pm\sqrt{Δ}}{2\cdot α}\\ \iff&x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}\\ \iff&x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}\\ \iff&x_{1,2}=\begin{cases}\frac{2-6}{2}\\ \frac{2+6}{2}\end{cases}\\ \iff&x_{1,2}=\begin{cases}-2,\text{ απορρίπτεται γιατί πρέπει } x>0\\ 4,\text{ δεκτή }\end{cases}\end{align}

Άρα το μήκος της δεξαμενής είναι \(4m\) και το πλάτος \(2m\).

γ) Αφού η νέα δεξαμενή περιέχει \(10m^3\) πετρέλαιο και η βάση της έχει μήκος \(4m\) και πλάτος \(2m\), αν \(x\) είναι το ύψος του υγρού μέσα στη δεξαμενή ο όγκος του υγρού θα είναι:

\begin{align}&V_{πετρ.}=10\\ \iff&4\cdot 2\cdot x=10\\ \iff&8\cdot x=10\\ \iff&x=\frac{10}{8}\\ \iff&x=\frac{5}{4}m.\end{align}

Άρα το ύψος του υγρού στη δεξαμενή είναι \(\frac{5}{4}m\).