Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 11805 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 12943 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 12943
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί \(α=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{5})\) και \(β=\dfrac{1}{2}(3-\sqrt{5})\).

α) Να υπολογίσετε το άθροισμα \(α+β\) και το γινόμενο \(α\cdot β\).
(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι \(α^2+β^2=7\).
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}α+β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5})\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3\end{align}

και

\begin{align}α\cdot β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}(3^2-\sqrt{5}^2)\\ &=\frac{1}{4}(9-5)\\ &=\frac{4}{4}\\ &=1.\end{align}

Άρα, \(α+β=3\) και \(α\cdot β=1\).

β) Έχουμε:

\begin{align}α^2+β^2&=\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})^2+\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})^2\\ &=\frac{1}{4}(9+5+6\sqrt{5}+9+5-6\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}\cdot 28\\ &=7\end{align}

που είναι το ζητούμενο.

Υπόδειξη για εναλλακτική λύση.
Το ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας

$$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ.$$