Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5518 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 13368 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 13368
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα οι κορυφές του τετραγώνου \(ΕΖΗΘ\) βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\).

α) Αν η πλευρά του τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\) είναι \(α\) και η απόσταση των κορυφών του \(ΕΖΗΘ\) από τις αντίστοιχες κορυφές του \(ΑΒΓΔ\) είναι \(x\), όπως φαίνεται στο σχήμα, να δείξετε ότι το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) δίνεται από τη σχέση:

$$(ΕΖΗΘ)=x^{2}+(α-x)^{2}\ \ \text{με}\ \ 0\le x\le α$$

(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το μισό του εμβαδού \(ΑΒΓΔ\).
(Μονάδες 11)

γ) Να βρείτε την πλευρά \(α\) του τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\) αν για \(x=1\), το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) είναι τα δύο τρίτα του εμβαδού του \(ΑΒΓΔ\), δηλαδή: \((ΕΖΗΘ)=\dfrac{2}{3}(ΑΒΓΔ)\).
(Μονάδες 8)

(Δίνεται \(\sqrt{3}≈1,73\))

ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) είναι \((ΕΖΗΘ)=(ΘΕ)^{2}\). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΕΘ\) είναι \((ΑΕ)=x\) και \((ΑΘ)=α-x\). Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

$$(ΘΕ)^{2}=(ΑΕ)^{2}+(ΑΘ)^{2}$$

Άρα:

$$(ΕΖΗΘ)=x^{2}+(α-x)^{2}$$

Επίσης, επειδή το \(Θ\) είναι σημείο της πλευράς \(ΔΑ\) και \(x\) είναι η απόσταση από την κορυφή \(Δ\), θα είναι:

$$0\le (ΔΘ)\le (ΔΑ) $$ $$\Leftrightarrow 0\le x\le α$$

β) Το εμβαδόν του \(ΑΒΓΔ\) είναι \((ΑΒΓΔ)=α^{2}\). Άρα η ζητούμενη σχέση γράφεται:

$$(ΕΖΗΘ)\ge \dfrac{(ΑΒΓΔ)}{2} $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+(a-x)^{2}\ge \dfrac{α^{2}}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}+2(a-x)^{2}\ge α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}+2α^{2}-4αx+2x^{2}\ge α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+α^{2}-4αx\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x)^{2}-2α2x+α^{2}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x-α)^{2}\ge 0\ \ \text{που ισχύει}$$

γ) Από το ερώτημα α) για \(x=1\) είναι:

$$(ΕΖΗΘ)=1^{2}+(α-1)^{2}$$ $$=1+α^{2}-2α+1$$ $$=α^{2}-2α+2$$

Οπότε η σχέση \((ΕΖΗΘ)=\dfrac{2}{3}(ΑΒΓΔ)\) ισοδύναμα γίνεται:

$$α^{2}-2α+2=\dfrac{2}{3}α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 3α^{2}-6α+6=2α^{2} $$ $$\Leftrightarrow α^{2}-6α+6=0$$

Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \(α\) με διακρίνουσα \(Δ=6^{2}-4\cdot 6=12>0\) και ρίζες:

$$α_{\text{1,2}}=\dfrac{6\pm \sqrt{12}}{2}$$ $$=\dfrac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}$$ $$=3\pm \sqrt{3} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}=3-\sqrt{3}≈3-1\ \text{,}\ 73=1\ \text{,}\ 27 \\ α_{2}=3+\sqrt{3}≈4\ \text{,}\ 73 \end{cases}$$

Από το ερώτημα α), πρέπει να ισχύει \(x\le α\), η οποία για \(x=1\) γίνεται \(1\le α\).

Παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές είναι δεκτές.