Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 9277 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14123 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14123
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=x^{2}- αx- (α + 1)\), \(x \in \mathbb{R}\), με παράμετρο \(α\in \mathbb{R}\).

α) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(α\) να βρείτε το πλήθος των ριζών του τριωνύμου.
(Μονάδες 7)

β) Αν είναι \(α>-2\), τότε:
(i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί \(-1\) και \(α+1\).
(Μονάδες 4)

(ii) Να βρείτε την τιμή του \(α\) για την οποία το μήκος του διαστήματος λύσεων της ανίσωσης \(x^{2}- αx- (α+1)\le 0\) είναι ίσο με \(2024\).
(Μονάδες 7)

(iii) Να βρείτε το πρόσημο του \(f(\dfrac{α}{2})\).
(Μονάδες 7)

Λύση

α) Έχουμε:

$$Δ=(-α)^{2}-4[-(α+1)]$$ $$=α^{2}+4α+4$$ $$=(α+2)^{2}$$

  • Αν \(α=-2\) τότε \(Δ=0\) άρα το τριώνυμο έχει μοναδική ρίζα.
  • Αν \(α\ne -2\) τότε \(Δ>0\) άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

β)
(i) Αφού \(α>-2\) τότε το \(f\) (x) έχει δυο ρίζες άνισες, τις \(x=\dfrac{-(-α)\pm \sqrt{(α+2)^{2}}}{2}\) άρα \(x=\dfrac{α\pm (α+2)}{2}\), οπότε η μία ρίζα είναι \(x=\dfrac{2α+2}{2}=\dfrac{2(α+1)}{2}=α+1\) και η άλλη \(x=\dfrac{α-α-2}{2}=-1\).

(ii) Έχει ρίζες τις \(-1\), \(α+1\) με \(α>- 2 \Leftrightarrow α+1>-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα \(f(x)\le 0\) για κάθε \(x\in [-1,α+1]\).

Οπότε πρέπει \((α+1) - (-1)=α+2=2024 \Leftrightarrow α=2022\).

(iii) Παρατηρούμε ότι \(-1 <\dfrac{α}{2}<α+1\) διότι: \(-1<\dfrac{α}{2} \Leftrightarrow α>-2\) ισχύει και: \(\dfrac{α}{2}<α+1 \Leftrightarrow α<2α+2 \Leftrightarrow α>-2\), ισχύει.

Τότε σύμφωνα με το ερώτημα (ii) θα είναι \(f(\dfrac{a}{2})<0\).