Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5040 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14320 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Απρ-2023 Ύλη: 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14320
Ύλη: 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Απρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Σε κάποιο τόπο, μια χειμερινή μέρα, ξεκινάμε να μετράμε τη θερμοκρασία από τις \(6\) το πρωί και μετά. Ο τύπος που δίνει τη θερμοκρασία, \(x\) ώρες μετά τις \(6\) το πρωί, είναι:

$$f(x)=\begin{cases}2x+4, &x\in[0,6]\\16, &x\in(6,9]\\25-x,&x\in(9,12]\end{cases}$$

και μετριέται σε βαθμούς Κελσίου.

α) Να βρείτε τη θερμοκρασία στον τόπο αυτό, στις \(6\) το πρωί, στις \(12\) το μεσημέρι και στις \(5\) το απόγευμα.
(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε σε ποιο χρονικό διάστημα της ημέρας η θερμοκρασία:
i. διατηρείται σταθερή,
ii. είναι μεγαλύτερη από \(14\) βαθμούς Κελσίου.
(Μονάδες 4+7=11)

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\).
(Μονάδες 8)

α) Η θερμοκρασία στις \(6\) το πρωί, προκύπτει για \(x=0\) και είναι ίση με \(f(0)=4\).
Η θερμοκρασία στις \(12\) το μεσημέρι, προκύπτει για \(x=6\) και είναι ίση με \(f(6)=2\cdot 6+4=16\).
Η θερμοκρασία στις \(5\) το απόγευμα, προκύπτει για \(x=11\) και είναι ίση με \(f(11)=25-11=14\).

β) i. Η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή και ίση με \(16\) βαθμούς Κελσίου, ανάμεσα στην \(6^\text{η}\) και την \(9^\text{η}\) ώρα μετά τις \(6\) το πρωί, δηλαδή στο διάστημα από τις \(12\) έως τις \(3\) το μεσημέρι.

ii. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν \(x\in[0,6]\) τότε:

\begin{align}&f(x) > 14\\ \iff&2x+4 > 14\\ \iff&x > 5.\end{align}

  • Αν \(x\in (6,9]\) τότε:

$$f(x)=16 > 14.$$

  • Αν \(x\in (9,12]\) τότε:

\begin{align}&f(x) > 14\\ \iff&25-x > 14\\ \iff&x \lt 11\end{align}

Επομένως η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από \(14\) βαθμούς Κελσίου, ανάμεσα στην \(5^\text{η}\) και \(11^\text{η}\) ώρα μετά τις \(6\) το πρωί, δηλαδή από τις \(11\) το πρωί μέχρι τις \(5\) το απόγευμα.

γ) Η γραφική παράσταση \(C_f\) της \(f\) αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα.

  • Το πρώτο τμήμα \(ΑΒ\) έχει άκρα τα σημεία \(A(0,4)\) και \(B(6,16)\).

  • Το δεύτερο τμήμα \(ΒΓ\) είναι παράλληλο στον άξονα \(x'x\) και έχει άκρα το \(Β\) και το \(Γ(9,f(9))\) δηλαδή το \(Γ(9,16)\).

  • Το τρίτο τμήμα \(ΓΔ\) έχει άκρα το σημείο \(Γ\) και το \(Δ(12,f(12))\) δηλαδή το \(Δ(12,13)\).

Η \(C_f\) φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.