Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 12356 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14329 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 14329
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 3

Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις \(Α=\dfrac{−α}{β}\), \(Β=α^{2}\).

α) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών \(α\), \(β\) οι αλγεβρικές παραστάσεις \(Α\), \(Β\) είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του \(0\).
(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \(Α\), \(Β\) είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι αντίστροφοι.
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός \(Α=\dfrac{-α}{β}\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του \(0\). Δηλαδή, αρκεί να ισχύει \(β\ne 0\).

Ο αριθμός \(Β=α^{2}\) ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του \(α\in R\).

Για να μην είναι μηδέν οι \(Α\), \(Β\), αρκεί και \(α\ne 0\).

β) Δύο αριθμοί \(Α\), \(Β\) λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει \(Α+Β=0\).

Ισχύουν ισοδύναμα:

$$A+Β=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$ $$\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow a=0\ \ \text{ή}\ \ αβ-1=0$$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι \(α\ne 0\) , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι \(αβ=1\), το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι αντίστροφοι.