Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 10997 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14375 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14375
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}-μx-2, μ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \(μ\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις τιμές του \(μ\in \mathbb{R}\) για τις οποίες οι αριθμοί \(x=-2\) και \(x=3\) βρίσκονται εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\) ενώ ο \(x=1\) βρίσκεται εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\).
(Μονάδες 6)

γ) Αν επιπλέον οι τιμές \(f(-2), f(1), f(3)\) με τη σειρά που δίνονταιαποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε:
i. Να βρείτε τις τιμές του \(μ\).
(Μονάδες 7)

ii. Για \(μ=\dfrac{13}{7}\) να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 6)

α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:
\(Δ=(-μ)^{2}-4\cdot 1 \cdot (-2)=μ^{2}+8>0\) για κάθε \(μ\in \mathbb{R}\).
Άρα η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \(μ\in \mathbb{R}\).

β) Είναι:

$$f(-2)=4+2μ-2=2μ+2$$ $$f(1)=1-μ-2=-μ-1$$ $$f(3)=9-3μ-2=7-3μ$$

Για να βρίσκονται τα \(x=-2\) και \(x=3\) εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\) ενώ το \(x=1\) εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\), θα πρέπει να ισχύει:

$$\begin{cases} f(-2)>0 \\ f(1)\lt 0 \\ f(3)>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2μ+2>0 \\ - μ-1 \lt 0 \\ 7-3μ>0\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} μ>-1 \\ μ>-1 \\ μ\lt \dfrac{7}{3} \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow -1\lt μ\lt \dfrac{7}{3}$$

γ) Για να είναι τα \(f(-2), f(1), f(3)\) με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει να ισχύει:

$$(f(1))^{2}=f(-2)\cdot f(3)$$ $$\Leftrightarrow (-μ-1)^{2}=(2μ+2)\cdot (7-3μ)$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)^{2}-2(μ+1)\cdot (7-3μ)=0$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)\cdot (μ+1-14+6μ)=0$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)\cdot (7μ-13)=0 $$ $$\Leftrightarrow μ=-1 \text{ ή } 7μ-13=0$$ $$\Leftrightarrow μ=-1 \text{ ή } μ=\dfrac{13}{7}$$

Άρα \(μ=\dfrac{13}{7}\) αφού \(μ\in \Big(-1,\frac{7}{3}\Big)\).

Για \(μ=\dfrac{13}{7}\) είναι:

$$f(-2)=\dfrac{26}{7}+2=\dfrac{40}{7}$$ $$f(1)=-\dfrac{13}{7}-1=-\dfrac{20}{7}$$ $$\text{ και } f(3)=7-\dfrac{39}{7}=\dfrac{10}{7}$$

Άρα ο λόγος της προόδου θα είναι:

$$λ=\dfrac{-\dfrac{20}{7}}{\dfrac{40}{7}}=-\dfrac{1}{2}$$