Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 20122 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14500 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Απρ-2024 Ύλη: 9.2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14500
Ύλη: 9.2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Απρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δύο ίσοι κύκλοι \((K,R)\) και \((Λ,R)\) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \(Ο\). Ένας τρίτος κύκλος \((Μ,ρ)\) εφάπτεται εξωτερικά με τους δύο κύκλους κέντρων \(Κ\) και \(Λ\). Με κέντρο το σημείο \(Ο\) και ακτίνα \(2R\) γράφουμε κύκλο, o οποίος εφάπτεται εξωτερικά των 3 παραπάνω κύκλων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

α) Στον παρακάτω πίνακα, στη στήλη \(Α\) είναι οι διάκεντροι \(KΛ\), \(ΛΜ\) και \(ΟΜ\) των κύκλων με κέντρα \(Κ\), \(Λ\), \(M\) και \(Ο\) και στη στήλη \(Β\) τα μήκη των διακέντρων αυτών. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης \(Α\) με τα αντίστοιχα της στήλης \(Β\), γράφοντας στην κόλλα σας μόνο τις αντιστοιχίσεις.

Στήλη Α Στήλη Β
Διάκεντρος Μήκος
1. \(ΚΛ\) i. \(R\)
2. \(ΛΜ\) ii. \(2R\)
3. \(ΟΜ\) iii. \(R+ρ\)
iv. \(2R-ρ\)

(Μονάδες 06)

β)

  1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΜΚΛ\) είναι ισοσκελές και ότι το τμήμα \(ΜΟ\) είναι το ύψος προς τη βάση του.
    (Μονάδες 06)
  2. Να βρείτε την ακτίνα \(ρ\) του κύκλου κέντρου \(M\) ως συνάρτηση του \(R\), όπου \(R\) η ακτίνα των κύκλων κέντρων \(Κ\) και \(Λ\).
    (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ

α) \(1 \rightarrow ii\), \(2 \rightarrow iii\), \(3 \rightarrow iv\).
Δηλαδή \(ΚΛ=2R\) γιατί οι κύκλοι κέντρων \(K\) και \(Λ\) εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους. Ομοίως \(ΛΜ=R+ρ\) γιατί οι κύκλοι κέντρων \(Λ\) και \(M\) εφάπτονται εξωτερικά. Τέλος \(ΟΜ=2R-ρ\) γιατί o κύκλος κέντρου \(Ο\) με τον κύκλο κέντρου \(M\) εφάπτονται εσωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με τη διαφορά των ακτινών τους.

β)

  1. Οι κύκλοι \((K,R)\) και \((Μ,ρ)\) εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους, δηλαδή \(KM =R+ρ = ΛΜ\) από το ερώτημα α). Άρα το τρίγωνο \(ΜΚΛ\) έχει δύο πλευρές ίσες, οπότε είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(ΚΛ\). Το σημείο \(Ο\) είναι το μέσο του τμήματος \(ΚΛ\) γιατί \(ΟΚ=ΟΛ=R\) επομένως το τμήμα \(ΜΟ\) είναι διάμεσος της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου, άρα είναι και ύψος, δηλαδή \(ΟΜ \perp ΚΛ\).
  2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΟΜΛ\) με \(\hat{O} = 90^0\) εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:
    \({ΟΜ}^2+{ΟΛ}^2={ΛΜ}^2\)
    \({(2R-ρ)}^2+R^2={(R+ρ)}^2\)
    \(4R^2-4Rρ+ρ^2+R^2=R^2+2Rρ+ρ^2\)
    \(4R^2=6Rρ\)
    \(2R=3ρ\)
    \(ρ=\dfrac{2R}{3}\).