Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6216 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14645 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαρ-2023 Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14645
Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Ένας ζωγράφος ξεκινώντας από ένα τετράγωνο πλευράς \(α\), σχεδιάζει διαδοχικά τετράγωνα παίρνοντας κάθε φορά ως πλευρά του νέου τετραγώνου, τη διαγώνιο του προηγούμενου τετραγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα:

α) i. Αν η πλευρά ενός τετραγώνου έχει μήκος \(x\), να αποδείξετε ότι η διαγώνιός του \(δ\) έχει μήκος \(δ=\sqrt{2}\cdot x\).
(Μονάδες 4)
ii. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των διαδοχικών τετραγώνων είναι όροι γεωμετρικής προόδου \((α_ν)\) με λόγο \(λ=2\) και γενικό όρο \(α_ν=α^22^{ν-1}\).
(Μονάδες 7)

β) Αν το εμβαδόν του τέταρτου κατά σειρά τετραγώνου ισούται με \(8\) τ.μ., να βρείτε:
i. την πλευρά \(α\) του αρχικού τετραγώνου.
(Μονάδες 8)
ii. το πλήθος των αρχικών τετραγώνων με συνολικό εμβαδόν \(255\) τ.μ.
(Μονάδες 6)

α) i. Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι για τη διαγώνιο \(δ\) ενός τετραγώνου πλευράς \(x\) ισχύει:

$$δ^2=x^2+x^2$$ $$\iff δ^2=2x^2$$ $$\iff \sqrt{δ^2}=\sqrt{2x^2}$$

και επειδή \(δ, x > 0\) προκύπτει ότι \(δ=\sqrt{2}\ x\).
ii. Από το ερώτημα (α.i) προκύπτει ότι αν ένα από τα τετράγωνα της ακολουθίας έχει πλευρά \(x\) το επόμενό του έχει πλευρά \(\sqrt{2}x\) και τα αντίστοιχα εμβαδά είναι \(x^2\) και \((\sqrt{2}x)^2=2x^2\). Άρα, ο λόγος \(λ\) των εμβαδών δύο διαδοχικών τετραγώνων δίνεται από τη σχέση

$$λ=\frac{2x^2}{x^2}=2$$

και είναι σταθερός. Οπότε, τα εμβαδά των τετραγώνων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο \(λ=2\) και πρώτο όρο \(α_1=α^2\).
Ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τη σχέση

$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α^22^{ν-1}.$$

β)

  1. Ισχύει ότι

\begin{align}&α_4=8\\ \iff&α^22^{4-1}=8\\ \iff&α^2\cdot 8=8\\ \iff&α^2=1\\ \overset{α>0}{\iff}&α=1.\end{align}

  1. Το άθροισμα των \(ν\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τη σχέση:

\begin{align}S_ν&=α_1\frac{λ^ν-1}{λ-1}\\ &=1\cdot\frac{2^ν-1}{2-1}\\ &=2^ν-1.\end{align}

Για να είναι το συνολικό εμβαδών των αρχικών τετραγώνων ίσο με \(255\) τ.μ. πρέπει να ισχύει:

\begin{align}&S_ν=255\\ \iff&2^ν-1=255\\ \iff&2^ν=256\\ \iff&2^ν=2^8\\ \iff&ν=8.\end{align}

Άρα, το πλήθος των τετραγώνων που έχουν συνολικό εμβαδόν \(255\) τ.μ. είναι \(8\).