Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4407 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14713 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 14713
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η παράσταση \(Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}\), \(α>0\). Να αποδείξετε ότι:

α) \(α^{3}+2α^{2}+9α+18=(α^{2}+9)(α+2)\).
(Μονάδες 7)

β) Για κάθε \(α>0\) ισχύει

  1. \(Α=\dfrac{α^{2}+9}{α}\).
    (Μονάδες 8)

  2. \(Α\ge 6\). Πότε ισχύει η ισότητα \(Α=6\) ;
    (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$α^{3}+2α^{2}+9α+18=α^{2}(α+2)+9(α+2)$$ $$=(α+2)(α^{2}+9)$$

που είναι το ζητούμενο.

β)

  1. Ισχύει: \(α^{2}+2α=α(α+2)\), οπότε με \(α>0\) έχουμε:

    $$Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}+9)(α+2)}{α(α+2)}$$ $$=\dfrac{α^{2}+9}{α}$$

  2. Επειδή \(α>0\) για την απόδειξη της \(Α\ge 6\), δηλαδή της \(\dfrac{α^{2}+9}{α}\ge 6\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \(α^{2}+9\ge 6α\), ή αρκεί \(α^{2}-6α+9\ge 0\), που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα \((α-3)^{2}\ge 0\).

    Η ισότητα \(Α=6\) ισχύει μόνο όταν \((α-3)^{2}=0\), δηλαδή μόνο όταν \(α=3\).