Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 8517 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 14713 | Θέμα: | 3 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Οκτ-2023 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 3 | ||
Κωδικός Θέματος: | 14713 | ||
Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 3
Δίνεται η παράσταση \(Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}\), \(α>0\). Να αποδείξετε ότι:
α) \(α^{3}+2α^{2}+9α+18=(α^{2}+9)(α+2)\).
(Μονάδες 7)
β) Για κάθε \(α>0\) ισχύει
\(Α=\dfrac{α^{2}+9}{α}\).
(Μονάδες 8)\(Α\ge 6\). Πότε ισχύει η ισότητα \(Α=6\) ;
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Είναι:
$$α^{3}+2α^{2}+9α+18=α^{2}(α+2)+9(α+2)$$ $$=(α+2)(α^{2}+9)$$
που είναι το ζητούμενο.
β)
Ισχύει: \(α^{2}+2α=α(α+2)\), οπότε με \(α>0\) έχουμε:
$$Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}+9)(α+2)}{α(α+2)}$$ $$=\dfrac{α^{2}+9}{α}$$
Επειδή \(α>0\) για την απόδειξη της \(Α\ge 6\), δηλαδή της \(\dfrac{α^{2}+9}{α}\ge 6\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \(α^{2}+9\ge 6α\), ή αρκεί \(α^{2}-6α+9\ge 0\), που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα \((α-3)^{2}\ge 0\).
Η ισότητα \(Α=6\) ισχύει μόνο όταν \((α-3)^{2}=0\), δηλαδή μόνο όταν \(α=3\).