Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5012 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14763 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14763
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{3\sqrt{x^{2}-8x+λ}}{x-4}+2\), για \(x\ne 4\) και \(λ\ge 16\).

α) Να βρείτε το \(λ\ge 16\) ώστε η γραφική παράσταση της \(f\) να διέρχεται από το σημείο
της \(Μ(0,-1)\).
(Μονάδες 7)

β) Αν \(λ=16\), τότε:

  1. Να αποδείξετε ότι: \(f(x)=\begin{cases} -1\ \text{,}\ & x<4 \\ 5\ \text{,}\ & x>4 \end{cases}\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της \(f\).
    (Μονάδες 5)

  3. Για \(x<4\), να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) των οποίων η απόστασή τους από το σημείο \(Α(-1,-1)\) είναι 10 μονάδες μήκους.
    (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Αφού το σημείο \(M(0,-1)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(f\) θα ισχύει \(f(0)=-1\) δηλαδή:

$$\dfrac{3\sqrt{λ}}{-4}+2=-1 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{λ}}{-4}=-3 $$ $$\Leftrightarrow 3\sqrt{λ}=12 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{λ}=4 $$ $$\Leftrightarrow λ=16$$

β) Για \(λ=16\),

  1. Είναι:

$$f(x)=\dfrac{3\sqrt{x^{2}-8x+16}}{x-4}+2$$ $$=\dfrac{3\sqrt{(x-4)^{2}}}{x-4}+2$$ $$=\dfrac{3|x-4|}{x-4}+2,\ \ x\ne 4$$

Αν \(x<4\) τότε \(x-4<0\) και \(|x-4|=-(x-4)\). Άρα:

$$f(x)=\dfrac{-3(x-4)}{x-4}+2$$ $$=-3+2=-1$$

Αν \(x>4\) τότε \(x-4>0\) και \(|x-4|=x-4\). Άρα:

$$f(x)=\dfrac{3(x-4)}{x-4}+2$$ $$=3+2=5$$

Άρα: \(f(x)=\begin{cases} -1\ \text{,}\ & x<4 \\ 5\ \text{,}\ & x>4 \end{cases}\)

  1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από δύο ημιευθείες παράλληλες προς τον άξονα \(x'x\), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

  1. Το σημείο \(A(-1,-1)\) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στην πρώτη ημιευθεία.

Αφού \(x<4\) το ζητούμενο σημείο ανήκει στον κλάδο \(f(x)=-1\). Αν ονομάσουμε \(B\) το σημείο θα έχει συντεταγμένες (\(x,-1)\). Τότε:

$$(ΑΒ)=|x+1|=10 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=10 \Leftrightarrow x=9 \\ x+1=-10 \Leftrightarrow x=-11 \end{cases}$$

Το \(x=9>4\) απορρίπτεται. Επομένως \(x=-11<4\) και το ζητούμενο σημείο είναι \(B(-11,-1)\).

Εναλλακτικά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, αφού το ζητούμενο σημείο \(Β\) βρίσκεται στην ημιευθεία \(y=-1\) θα έχει τεταγμένη \(y_{B}=-1\) και θα βρίσκεται δέκα θέσεις δεξιά ή δέκα αριστερά του \(Α\) πάνω στην ημιευθεία \(y=-1\).

Δηλαδή θα έχει τετμημένη: \(x_{B}=-1+10=9\) απορρίπτεται ή \(x_{B}=-1-10=-11\).

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι \(B(-11,-1)\).