Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4568 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14786 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14786
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται τα σημεία \(Α(λ,1)\) και \(Β(2-λ^{2},μ)\), με \(λ,μ\in \mathbb{R}\).

α) Αν τα σημεία \(Α\), \(Β\) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(x'x\), να βρείτε τις τιμές των \(λ\), \(μ\).
(Μονάδες 7)

β) Αν επιπλέον το σημείο \(Α\) βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, να βρείτε την τιμή του \(λ\).
(Μονάδες 6)

γ) Για \(λ=-2\) και \(μ=-1\)

  1. Να βρείτε την απόσταση των σημείων \(Α\), \(Β\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \(ΟΑΒ\), όπου \(Ο\) η αρχή των αξόνων.
    (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι τα σημεία \(Α\), \(Β\) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(x'x\) θα πρέπει να ισχύει:

$$\begin{cases} λ=2-λ^{2} \\ \text{και} \\ μ=-1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ^{2}+λ-2=0 \\ \text{και} \\ μ=-1 \end{cases}$$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου \(λ^{2}+λ-2\) είναι:

$$Δ=1-4\cdot (-2)=9$$

και οι ρίζες:

$$λ_{\text{1,2}}=\dfrac{-1\pm 3}{2} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ_{1}=1 \\ \text{και} \\ λ_{2}=-2 \end{cases}$$

Άρα \(λ=1\) ή \(λ=-2\) και \(μ=-1\).

β) Επειδή θέλουμε το σημείο \(Α\) να βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, θα πρέπει να έχει αρνητική τετμημένη. Άρα: \(λ=-2\).

γ) Για \(λ=-2\) και \(μ=-1\) είναι \(Α(-2,1)\) και \(Β(-2,-1)\).

  1. Επειδή τα σημεία \(Α(-2,1)\) και \(Β(-2,-1)\) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(x'x\) το τμήμα \(ΑΒ\) είναι κάθετο στον άξονα \(x'x\) και η απόστασή τους είναι:

$$(ΑΒ)=|-1-1|=2$$

  1. Το μήκος της βάσης του τριγώνου \(OAB\) είναι \((ΑΒ)=2\) μονάδες μήκους και το αντίστοιχο ύψος \((ΟΜ)=2\) μονάδες μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου \(ΟΑΒ\) είναι:

$$(ΟΑΒ)=\dfrac{(ΑΒ)\cdot (ΟΜ)}{2}$$ $$=\dfrac{2\cdot 2}{2}=2\ \text{τετραγωνικές μονάδες}$$