Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5662 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14805 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 14805
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 3

Έστω \(α\) ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει \(α=|3\sqrt{2}-4|+2|\sqrt{2}-2|\).

α) Να αποδείξετε ότι \(α=\sqrt{2}\). (Θεωρήστε ότι \(\sqrt{2}=1,41\))
(Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι \(α^{3}=2α\).
(Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης \(Α=α^{3}+(α-1)^{2}\).
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Με \(\sqrt{2}=1,41\) έχουμε \(3\sqrt{2}>4\), οπότε \(3\sqrt{2}-4>0\), άρα \(|3\sqrt{2}-4|=3\sqrt{2}-4\).

Επίσης \(\sqrt{2}-2<0\), οπότε \(|\sqrt{2}-2|=-\sqrt{2}+2\).

Έχουμε λοιπόν:

$$α=3\sqrt{2}-4+2(2-\sqrt{2})$$ $$=3\sqrt{2}-4+4-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

που είναι το ζητούμενο.

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) έχουμε:

$$α^{3}=α^{2}α=2α$$

γ) Αφού \(α^{3}=2α\), έχουμε:

$$Α=α^{3}+(α-1)^{2}$$ $$=2α+α^{2}-2α+1$$ $$=α^{2}+1=2+1=3$$