Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3656 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 15051 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 15051
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Να αποδείξετε ότι \((2-\sqrt{5})^{2}=9-4\sqrt{5}\) και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα \((2+\sqrt{5})^{2}\).
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών \(9-4\sqrt{5}\) και \(9+4\sqrt{5}\).
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$(2-\sqrt{5})^{2}=4-4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$ $$=4-4\sqrt{5}+5$$ $$=9-4\sqrt{5}$$

Ομοίως έχουμε:

$$(2+\sqrt{5})^{2}=4+4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$ $$=4+4\sqrt{5}+5$$ $$=9+4\sqrt{5}$$

β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:

$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$$ $$=|2-\sqrt{5}|$$ $$=\sqrt{5}-2$$

αφού ο αριθμός \(2-\sqrt{5}\) είναι αρνητικός οπότε:

$$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$$

Επίσης:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^{2}}$$ $$=|2+\sqrt{5}|$$ $$=2+\sqrt{5}$$

αφού ο αριθμός \(2+\sqrt{5}\) είναι θετικός, οπότε:

$$|2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}$$