Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 22053 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 15422 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Ιουν-2023 Ύλη: 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 15422
Ύλη: 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Ιουν-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=aσυν(\dfrac{π}{2}-2x)-2ημ(π+2x)\) με \(a>0\), η οποία έχει μέγιστη τιμή το \(4\).

α) Να δείξετε ότι \(f(x)=(a+2)ημ2x\).
(Μονάδες 5)

β)

  1. Να δείξετε ότι \(a=2\).
    (Μονάδες 5)

  2. Να βρείτε την περίοδο της \(f\).
    (Μονάδες 5)

γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f\) σε διάστημα μιας περιόδου.
(Μονάδες 5)

δ) Αν \(g(x)=5-συν^{2}2x\), να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της \(C_{f}\) με την \(C_{g}\), όπου \(C_{f},C_{g}\) οι γραφικές παραστάσεις των \(f\), \(g\) αντίστοιχα.
(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$f(x)=aσυν(\dfrac{π}{2}-2x)-2ημ(π+2x)$$ $$=aημ2x+2ημ2x$$ $$=(a+2)ημ2x$$

β)

  1. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \(f\) καθορίζεται από το συντελεστή \(a+2\). Πρέπει δηλαδή:

$$a+2=4 $$ $$\Leftrightarrow α=2$$

  1. Η περίοδος \(Τ=\dfrac{2π}{2}=π\).

γ) Η γραφική παράσταση της \(f(x)=4ημ2x\) στο διάστημα \([0,π]\), βάσει του παρακάτω πίνακα:


δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

δ) Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των δύο γραφικών παραστάσεων λύνουμε την εξίσωση:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow 4ημ2x=5-συν^{2}2x $$ $$\Leftrightarrow 4ημ2x=5-(1-ημ^{2}2x) $$ $$\Leftrightarrow ημ^{2}2x-4ημ2x+4=0 $$ $$\Leftrightarrow (ημ2x-2)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow ημ2x=2\ \ \text{αδύνατη}$$

Αφού η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, δεν υπάρχουν σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων.