Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6534 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 15643 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 Ύλη: 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 15643
Ύλη: 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\).

α)
i. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-3\).
(Μονάδες 7)

ii. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης \(P(x):(x-3)\)
(Μονάδες 7)

β) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-3)(2x-1)\).
(Μονάδες 11)

ΛΥΣΗ

α)
i. Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-ρ\) αν και μόνο αν \(P(ρ)=0\). Έχουμε \(P(3)=2\cdot 3^{3}-3\cdot 3^{2}-11\cdot 3+6=54-27-33+6=0\), άρα το \(x-3\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

ii. Εκτελούμε την διαίρεση

β) Από το α)ii ερώτημα έχουμε ότι: \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x^{2}+3x-2)\).
Το \(2x-1\) θα διαιρεί το \(P(x)\) αν και μόνο αν διαιρεί τον παράγοντα \(2x^{2}+3x-2\).

Έχουμε \(2x^{2}+3x-2=(2x-1)(x+2)\), αφού \(Δ=25\) και \(x_{1}=-2,x_{2}=\dfrac{1}{2}\).
Οπότε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x-1)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-3)(2x-1)\).

Εναλλακτική λύση
Είναι \((x-3)(2x-1)=2x^{2}-7x+3\). Εκτελούμε τη διαίρεση

Έχουμε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(2x^{2}-7x+3)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) διαιρείται με το \(2x^{2}-7x+3\), άρα διαιρείται με το \((x-3)\cdot (2x-1)\).