Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Είστε Μαθηματικός;
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ευκαιρίες Απασχόλησης
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Προσθήκη στις Εκτυπώσεις Προσθήκη Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 11348 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 18732 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 Ύλη: 1.3. Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 18732
Ύλη: 1.3. Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Σε σύστημα αξόνων δίνονται τα σημεία \(A(3,4)\) και \(B(7,1)\).

α) Αν \(\Gamma\!\left(2,\dfrac{8}{3}\right)\) και \(\Delta\!\left(\dfrac{13}{3},3\right)\) να δείξετε ότι:

  1. \(\overrightarrow{A\Gamma}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AO}\) και \(\overrightarrow{A\Delta}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

(Μονάδες 6)

  1. \(\Gamma\Delta//OB\).

(Μονάδες 5)

  1. Να δείξετε ότι \((A\Gamma\Delta)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2(AOB)\).

(Μονάδες 5)

β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του α) ερωτήματος, αν για τα σημεία \(\Gamma\) και \(\Delta\) ισχύουν \(\overrightarrow{A\Gamma}=\dfrac{1}{\nu}\overrightarrow{AO}\) και \(\overrightarrow{A\Delta}=\dfrac{1}{\nu}\overrightarrow{AB}\), να δείξετε ότι \((A\Gamma\Delta)=\left(\dfrac{1}{\nu}\right)^2(ABO)\).

(Μονάδες 9)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α)

  1. Οι συντεταγμένες του διανύσματος \(\overrightarrow{A\Gamma}\) δίνονται από τη σχέση \(\overrightarrow{A\Gamma}=(x_\Gamma-x_A, y_\Gamma-y_A)\), οπότε αντικαθιστώντας παίρνουμε \(\overrightarrow{A\Gamma}=\left(-1,-\dfrac{4}{3}\right)\). Όμοια παίρνουμε \(\overrightarrow{AO}=(-3,-4)\), δηλαδή έχουμε \(\overrightarrow{A\Gamma}=\left(-1,-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{1}{3}(-3,-4)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AO}\).

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι \(\overrightarrow{A\Delta}=\left(\dfrac{4}{3},-1\right)\) και \(\overrightarrow{AB}=(4,-3)\), δηλαδή έχουμε \(\overrightarrow{A\Delta}=\left(\dfrac{4}{3},-1\right)=\dfrac{1}{3}(4,-3)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

  1. Είναι \(\lambda_{\Gamma\Delta}=\dfrac{3-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{13}{3}-2}=\dfrac{1}{7}\) και \(\lambda_{OB}=\dfrac{1-0}{7-0}=\dfrac{1}{7}\), επομένως \(\Gamma\Delta//OB\).

  2. Είναι \((A\Gamma\Delta)=\dfrac{1}{2}\left|\det\!\left(\overrightarrow{A\Gamma},\overrightarrow{A\Delta}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}-1 & -\dfrac{4}{3} \\ \dfrac{4}{3} & -1\end{vmatrix}\right|=\dfrac{1}{2}\left|1+\dfrac{16}{9}\right|=\dfrac{25}{18}\) τ.μ.

Ακόμα \((ABO)=\dfrac{1}{2}\left|\det\!\left(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}4 & -3 \\ -3 & -4\end{vmatrix}\right|=\dfrac{1}{2}\left|-16-9\right|=\dfrac{25}{2}\) τ.μ. Επομένως έχουμε

\begin{align} (A\Gamma\Delta) &= \frac{25}{18} = \frac{1}{9}\cdot\frac{25}{2} = \frac{1}{9}\cdot(ABO) \\ \Rightarrow (A\Gamma\Delta) &= \left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot(ABO) \end{align}

β) Έχουμε

$$\overrightarrow{A\Gamma}=\frac{1}{\nu}\overrightarrow{AO}\Rightarrow\overrightarrow{A\Gamma}=\frac{1}{\nu}(x_O-x_A,y_O-y_A)\Rightarrow\overrightarrow{A\Gamma}=\frac{1}{\nu}(0-3,0-4)\Rightarrow\overrightarrow{A\Gamma}=\left(-\frac{3}{\nu},-\frac{4}{\nu}\right).$$

Όμοια,

$$\overrightarrow{A\Delta}=\frac{1}{\nu}\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A\Delta}=\frac{1}{\nu}(x_B-x_A,y_B-y_A)\Rightarrow\overrightarrow{A\Delta}=\frac{1}{\nu}(7-3,1-4)\Rightarrow\overrightarrow{A\Delta}=\left(\frac{4}{\nu},-\frac{3}{\nu}\right).$$

Επομένως \((A\Gamma\Delta)=\dfrac{1}{2}\left|\det\!\left(\overrightarrow{A\Gamma},\overrightarrow{A\Delta}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}-\dfrac{3}{\nu} & -\dfrac{4}{\nu} \\ \dfrac{4}{\nu} & -\dfrac{3}{\nu}\end{vmatrix}\right|=\dfrac{25}{2\nu^2}\) τ.μ.

Από το α)iii. έχουμε \((ABO)=\dfrac{25}{2}\) τ.μ., οπότε τελικά,

$$(A\Gamma\Delta)=\frac{25}{2\nu^2}=\frac{1}{\nu^2}\cdot\frac{25}{2}=\left(\frac{1}{\nu}\right)^2\cdot(ABO).$$