Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 12311 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Τάξη: | Β' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 18745 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 09-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 18745 | ||
| Ύλη: | 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Επιστήμονες προκειμένου να μελετήσουν υδρόβιο έντομο κατέγραψαν στιγμιότυπα από τους κύκλους με κέντρα τα σημεία \(A, B, \Gamma, \Delta\) και ακτίνες \(3, 2, 1, \dfrac{1}{2}\) αντίστοιχα, που σχηματίζονται σε κάθε προσγείωση του στο νερό. Η εικόνα από τις εναέριες λήψεις αποτυπώθηκαν σε σύστημα αξόνων όπως φαίνεται στο σχήμα. Το έντομο κινούμενο ευθύγραμμα περνάει από τα σημεία \(A, B, \Gamma, \Delta\) για να καταγραφεί την στιγμή που καταλήγει στο σημείο \(M\).
α) Να βρείτε την εξίσωση της πορείας του εντόμου.
(Μονάδες 4)
β)
- Να δείξετε ότι η ευθεία \((\varepsilon_1): y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{3-4\sqrt{3}}{3}\) είναι κοινή εφαπτόμενη των τεσσάρων κύκλων.
(Μονάδες 7)
- Να βρείτε την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτομένης.
(Μονάδες 10)
γ) Με βάση το μοτίβο που ακολουθούν οι κινήσεις του εντόμου να βρείτε ότι η τελική θέση του εντόμου είναι το σημείο \(M(4,1)\).
(Μονάδες 4)
Δίνεται ότι \(\text{εφ}150°=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
ΛΥΣΗ
α) Η πορεία του εντόμου είναι στην ευθεία της διακέντρου των κύκλων. Οι δύο πρώτοι κύκλοι, σύμφωνα με το σχήμα, έχουν κέντρα \(A(-2,1)\) και \(B(0,1)\), οι οποίοι βρίσκονται στην ευθεία \(y=1\). Τα κέντρα των υπόλοιπων κύκλων ανήκουν στην ίδια ευθεία, άρα η πορεία του εντόμου είναι η \(y=1\).
β)
- Έχουμε για τους τέσσερεις κύκλους:
\(C_1\): κέντρο \(A(-2,1)\) και \(\rho_1=3\) \(\quad\) \(C_2\): κέντρο \(B(0,1)\) και \(\rho_2=2\)
\(C_3\): κέντρο \(\Gamma(2,1)\) και \(\rho_3=1\) \(\quad\) \(C_4\): κέντρο \(\Delta(3,1)\) και \(\rho_4=\dfrac{1}{2}\).
Μια ευθεία εφάπτεται σε κύκλο αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία ισούται με την ακτίνα. Έχουμε
\begin{align} d(A,\varepsilon_1) &= \frac{\left|3+2\sqrt{3}-3+4\sqrt{3}\right|}{\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=3=\rho_1 \\ d(B,\varepsilon_1) &= \frac{\left|3-3+4\sqrt{3}\right|}{\sqrt{12}}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2=\rho_2 \\ d(\Gamma,\varepsilon_1) &= \frac{\left|3-2\sqrt{3}-3+4\sqrt{3}\right|}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1=\rho_3 \\ d(\Delta,\varepsilon_1) &= \frac{\left|3-3\sqrt{3}-3+4\sqrt{3}\right|}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=\rho_4 \end{align}
Άρα η ευθεία \((\varepsilon_1): y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{3-4\sqrt{3}}{3}\) είναι κοινή εφαπτόμενη των τεσσάρων κύκλων.
- Η εφαπτομένη \((\varepsilon_1)\) σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\) άρα και με την ευθεία \(y=1\) γωνία \(\omega\), με \(\text{εφ}\omega=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), οπότε \(\omega=30°\). Επίσης διέρχεται από το σημείο \(M(4,1)\) αφού \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+\dfrac{3-4\sqrt{3}}{3}=1\), δηλαδή οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
Λόγω συμμετρίας του σχήματος η άλλη κοινή εφαπτομένη \((\varepsilon_2)\) θα σχηματίζει με την ευθεία \(y=1\) άρα και με τον άξονα \(x'x\) γωνία \(\varphi=150°\), οπότε \(\text{εφ}\varphi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Οπότε έχουμε για την \((\varepsilon_2)\): \(y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\beta\).
Λόγω της συμμετρίας η \((\varepsilon_2)\) διέρχεται από το σημείο \(M(4,1)\), οπότε
$$1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+\beta\Leftrightarrow\beta=\frac{3+4\sqrt{3}}{3}.$$
Τελικά \((\varepsilon_2): y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\).
γ) Οι εφαπτομένες \((\varepsilon_1)\) και \((\varepsilon_2)\) διέρχονται από το σημείο \(M\) από το ερώτημα β), το ίδιο και η ευθεία της διακέντρου, άρα το σημείο στάσης του εντόμου είναι το \(M(4,1)\).
