ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση (1) γράφεται:

\begin{align} x^2+y^2-6x-8y=0 &\Leftrightarrow (x^2-6x)+(y^2-8y)=0 \\ &\Leftrightarrow (x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2)+(y^2-2\cdot 4\cdot y+4^2)=3^2+4^2 \\ &\Leftrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=25. \end{align}

Άρα ο κύκλος έχει κέντρο \(K(3,4)\) και ακτίνα \(\rho=\sqrt{25}=5\).

β) Έχουμε \(d(K,\varepsilon)=\dfrac{\left|3x_K+4y_K\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|3\cdot 3+4\cdot 4\right|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{|9+16|}{\sqrt{25}}=\dfrac{25}{5}=5\) μονάδες μήκους.

γ) Από τα προηγούμενα ερωτήματα παρατηρούμε ότι η απόσταση \(d(K,\varepsilon)\) ισούται με την ακτίνα \(\rho\) του κύκλου \(C\), οπότε ο ισχυρισμός «Ο κύκλος \(C\) και η ευθεία \(\varepsilon\) εφάπτονται» είναι αληθής.