ΛΥΣΗ

α) Αν θεωρήσουμε ότι το σημείο \(A\) είναι η βάση του δεξιού πυλώνα πάνω στη γέφυρα, τότε \((OA)=640\), οπότε το σημείο \(B\) έχει συντεταγμένες \(B(640,160)\).

Η εξίσωση της παραβολής είναι στη μορφή \(x^2=2py\).

Άρα ισχύει \(640^2=2p\cdot 160\), έτσι \(2p=\dfrac{640\cdot 640}{160}=4\cdot 640=2560\).

Άρα το παραβολικό καλώδιο έχει εξίσωση \(x^2=2560y\).

β) Η εστία έχει συντεταγμένες \(E\!\left(0,\dfrac{p}{2}\right)\), δηλαδή \(E\!\left(0,\dfrac{2560}{4}\right)\), άρα \(E(0,640)\).

Η διευθετούσα έχει εξίσωση \((\delta): y=-\dfrac{p}{2}=-640\).

γ) Η εφαπτομένη έχει εξίσωση \((\varepsilon): x_1 x=p(y_1+y)\), άρα \(640x=1280(160+y)\).

Τελικά \((\varepsilon): y=\dfrac{1}{2}x-160\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\Delta(0,-160)\).

Ώστε \((E\Delta)=|640-(-160)|=800\).

Από τον ορισμό της παραβολής, η απόσταση του σημείου \(B\) της παραβολής από την εστία \(E\) ισούται με την απόσταση του \(B\) από την διευθετούσα \((\delta)\) η οποία έχει εξίσωση \(y=-640\).

Έτσι, θα είναι \((EB)=|160-(-640)|=800\).