ΛΥΣΗ

α) Από την εκφώνηση προκύπτει ότι \((PH) = 147{,}5\) και \((PE) = 152{,}5\) εκατομμύρια \(Km\).

Αλλά, η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή \(\dfrac{x^2}{\alpha^2} + \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\) με \(\beta^2 = \alpha^2 - \gamma^2\) και γνωρίζουμε ότι \((PH) = \alpha - \gamma\), ενώ \((PE) = \alpha + \gamma\).

Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε \(2\alpha = (PA) = 300\) εκατομμύρια \(Km\), ενώ αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε \(2\gamma = (HE) = 5\) εκατομμύρια \(Km\).

$$\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} = \frac{2\gamma}{2\alpha} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$$

β) Από τον ορισμό της έλλειψης, κάθε σημείο της έχει σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες ίσο με \(2\alpha\), δηλαδή \((\Gamma H) + (\Gamma E) = 2\alpha = 300\).

Αλλά \((HE) = 2\gamma = 5\). Ώστε η περίμετρος του μεταβλητού τριγώνου \(\Gamma HE\) είναι σταθερή και ίση με \(305\) εκατομμύρια \(Km\).

γ) Σύμφωνα με την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης, η κάθετη ευθεία \(\Delta\Gamma\) στην \(t't\) στο σημείο \(\Gamma\) διχοτομεί την γωνία \(H\hat{\Gamma}E\), άρα έχουμε \(H\hat{\Gamma}\Delta = \Delta\hat{\Gamma}E = \hat{\omega}\).

Ώστε \(t'\hat{\Gamma}H = t\hat{\Gamma}E = 90^\circ - \omega\).