ΛΥΣΗ

α) Η \(\varepsilon_1\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο \(A(3,\sqrt{3})\), ενώ η \(\varepsilon_2\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο \(B(3,3)\), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

[[[IMAGE]]]

β) Η \(\varepsilon_1\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), οπότε σχηματίζει με τον \(xx'\) γωνία \(30^\circ\), ενώ η \(\varepsilon_2\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(1\), οπότε σχηματίζει με τον \(xx'\) γωνία \(45^\circ\).

γ) Είναι \(\overrightarrow{OA} = (3,\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{OB} = (3,3)\), οπότε

$$(OAB) = \frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\right| = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$$

τετραγωνικές μονάδες.

δ) Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) είναι η διαφορά των γωνιών που σχηματίζει η κάθε μία από τις \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) με τον \(xx'\), δηλαδή \(45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\). Γνωρίζουμε από τη γεωμετρία ότι \((OAB) = \dfrac{1}{2} \cdot (OA) \cdot (OB) \cdot \eta\mu 15^\circ\), οπότε

\begin{align} (OAB) = \frac{1}{2} \cdot (OA) \cdot (OB) \cdot \eta\mu 15^\circ &\Leftrightarrow \frac{9-3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 3^2} \cdot \eta\mu 15^\circ \\ &\Leftrightarrow 9 - 3\sqrt{3} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{18} \cdot \eta\mu 15^\circ \\ &\Leftrightarrow 3(3-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \eta\mu 15^\circ \\ &\Leftrightarrow \eta\mu 15^\circ = \frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ &\Leftrightarrow \eta\mu 15^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ &\Leftrightarrow \eta\mu 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \end{align}