ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία \((\varepsilon_1)\) διέρχεται από το σημείο \(M\) και έχει κλίση \(\lambda = \text{εφ}\,45° = 1\). Επομένως, έχει εξίσωση \((\varepsilon_1)\): \(y - 2 = 1(x + 2) \Leftrightarrow y = x + 4\).

β) Το σύνολο των σημείων του επιπέδου, που απέχουν ίση απόσταση από το σημείο \(E\) και την ευθεία \((\zeta)\), είναι παραβολή με εστία το σημείο \(E\!\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)\) και διευθετούσα την ευθεία \((\zeta)\): \(y = \dfrac{1}{2}\).

Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \(y'y\) και παράμετρο \(p = -1\). Επομένως η εξίσωσή της είναι η:

$$x^2 = 2py \underset{p=-1}{\Longleftrightarrow} x^2 = -2y \Leftrightarrow x^2 + 2y = 0$$

γ)

i. Αν \(K(x_1, y_1)\) είναι το σημείο επαφής, τότε η εφαπτομένη \((n)\) της παραβολής έχει εξίσωση \(xx_1 = p(y + y_1) \underset{p=-1}{\Longleftrightarrow} y = -x_1 x - y_1\). Τότε είναι:

$$(n) \parallel (\varepsilon_1) \Rightarrow \lambda_n = \lambda_{\varepsilon_1} \Rightarrow -x_1 = 1 \Rightarrow x_1 = -1$$

Επιπλέον το \(K(x_1, y_1)\) ανήκει στην παραβολή, επομένως ισχύει:

$$x_1^2 + 2y_1 = 0 \underset{x_1=-1}{\Longrightarrow} y_1 = -\frac{1}{2}$$

Έτσι η εφαπτομένη έχει εξίσωση \((n)\): \(y = x + \dfrac{1}{2}\).

ii. \(1^{\text{ος}}\) τρόπος: Με τη βοήθεια της παρακάτω γραφικής παράστασης:

Όπως φαίνεται στην γραφική παράσταση, η εφαπτομένη \((n)\) και η παραβολή \(C\) έχουν μοναδικό κοινό σημείο το \(K\). Επιπλέον ισχύει \((n) \parallel (\varepsilon_1)\), με την \((\varepsilon_1)\) να βρίσκεται "πάνω" από την \((n)\).

Έτσι, η ελάχιστη απόσταση των σημείων της \(C\) από την ευθεία \((\varepsilon_1)\) είναι η απόσταση του σημείου \(K\!\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)\) από την ευθεία \((\varepsilon_1)\): \(x - y + 4 = 0\).

$$d\!\left(K,(\varepsilon_1)\right) = \frac{\left|1\cdot(-1) - 1\cdot\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 4\right|}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}$$

\(2^{\text{ος}}\) τρόπος: Η αλγεβρική προσέγγιση

Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο της παραβολής \(C\), το \(\Lambda\!\left(x_0,\, \dfrac{-x_0^2}{2}\right)\) με \(x_0 \in \mathbb{R}\).

Η απόσταση του \(\Lambda\) από την ευθεία \((\varepsilon_1)\) είναι:

$$d = d(x_0) = \frac{\left|1 \cdot x_0 - 1 \cdot \left(\dfrac{-x_0^2}{2}\right) + 4\right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left|x_0^2 + 2x_0 + 8\right|}{2\sqrt{2}}$$

Αλλά \(x_0^2 + 2x_0 + 8 > 0\) για κάθε \(x_0 \in \mathbb{R}\), διότι έχει διακρίνουσα \(\Delta = -28 < 0\) και \(\alpha = 1 > 0\).

Επομένως:

$$d(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x_0^2 + 2x_0 + 8),\quad x_0 \in \mathbb{R}$$

Η παραπάνω αποτελεί μία παραβολή που παρουσιάζει ελάχιστο για \(x_0 = \dfrac{-\beta}{2\alpha} = -1\) και ελάχιστη τιμή την:

$$d(-1) = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}$$