ΛΥΣΗ

α) Η υπερβολή \(\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\), με \(\beta = \sqrt{\gamma^2 - \alpha^2}\), έχει εστίες τις \(E'(-\gamma, 0)\), \(E(\gamma, 0)\) και ασύμπτωτες τις ευθείες \(\varepsilon_1: y = \dfrac{\beta}{\alpha}x\), \(\varepsilon_2: y = -\dfrac{\beta}{\alpha}x\).

Η υπερβολή \(C: x^2 - y^2 = 1\) είναι ισοσκελής, με \(\alpha = \beta = 1\).

Επιπλέον \(\beta = \sqrt{\gamma^2 - \alpha^2} \Leftrightarrow 1 = \sqrt{\gamma^2 - 1} \Leftrightarrow \gamma^2 = 2 \underset{\gamma>0}{\Longleftrightarrow} \gamma = \sqrt{2}\).

Επομένως, οι εστίες της \(C\) είναι τα σημεία \(E'(-\sqrt{2}, 0)\), \(E(\sqrt{2}, 0)\) και ασύμπτωτες, οι ευθείες \(\varepsilon_1: y = x\), \(\varepsilon_2: y = -x\).

β)

i. Η εφαπτομένη της υπερβολής \(\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\) στο σημείο της \(M(x_1, y_1)\) είναι η ευθεία \(\dfrac{x \cdot x_1}{\alpha^2} - \dfrac{y \cdot y_1}{\beta^2} = 1\).

Η εφαπτομένη της \(C\) στο σημείο \(A(1,0)\) είναι η \(\zeta\): \(x \cdot 1 - y \cdot 0 = 1 \Leftrightarrow x = 1\).

ii. Το σημείο \(\Gamma\) προκύπτει από την επίλυση του συστήματος \((\Sigma)\):

$$\begin{cases} \varepsilon_1:\; y = x \\ \zeta:\; x = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 1 \\ x = 1 \end{cases}$$

Επομένως \(\Gamma(1,1)\).