ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \((\lambda + 1)x + (\lambda - 1)y + 2 = 0\) είναι της μορφής \(Ax + By + \Gamma = 0\), με \(A = \lambda + 1\) και \(B = \lambda - 1\).

Επειδή \(\lambda \in \{0,1,2,3,4,5\}\) έχουμε: \(A = \lambda + 1 \neq 0\).

Έτσι, όλες αυτές οι γραμμές είναι ευθείες.

β) Για \(\lambda = 1\), προκύπτει η ευθεία \(\varepsilon_1: x = -1\), ενώ για \(\lambda = 2\), προκύπτει η ευθεία \(\varepsilon_2: 3x + y = -2\).

Οι \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) τέμνονται στο σημείο \((-1,1)\). Γνωρίζοντας ότι όλες οι γραμμές σύνδεσης διέρχονται από την πηγή \(\Pi\), συμπεραίνουμε ότι η πηγή του νερού αντιστοιχεί στο σημείο \(\Pi(-1,1)\).

γ) Για \(x = 0\) και \(y = 0\), προκύπτει: \((\lambda + 1) \cdot 0 + (\lambda - 1) \cdot 0 + 2 \neq 0\).

Επομένως το \(O(0,0)\) δεν ανήκει σε κάποια από τις ευθείες.

δ)

i. Η απόσταση του \(O\) από το \(\Pi\) είναι:

$$(O\Pi) = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$$

ενώ αν \(\varepsilon_\lambda: (\lambda + 1)x + (\lambda - 1)y + 2 = 0\), τότε:

$$d(O, \varepsilon_\lambda) = \frac{|(\lambda-1)\cdot 0 + (\lambda+1)\cdot 0 + 2|}{\sqrt{(\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2\lambda^2 + 2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\lambda^2 + 1}}, \quad \lambda \in \{0,1,2,3,4,5\}$$

Έχουμε:

$$d(O, \varepsilon_\lambda) = (O\Pi) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\lambda^2 + 1}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{\lambda^2 + 1} = 1 \Leftrightarrow \lambda = 0$$

Δηλαδή οι δύο επιλογές οδηγούν στο ίδιο κόστος κατασκευής για \(\lambda = 0\) και ο αγωγός με τον οποίο θα μπορούσε να συνδεθεί το χωριό \(O\) είναι αυτός που διέρχεται από την ευθεία \(\varepsilon_0: x - y + 2 = 0\).

ii. Από την ισότητα \(d(O, \varepsilon_0) = (O\Pi)\) προκύπτει ότι η προβολή του σημείου \(O\) πάνω στην ευθεία \(\varepsilon_0\) είναι το σημείο \(\Pi\), επομένως \(O\Pi \perp \varepsilon_0\).