Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3209 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 21651 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023 Ύλη: 3.4 Η Υπερβολή
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 21651
Ύλη: 3.4 Η Υπερβολή
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Η υπερβολή \(C\) έχει εστίες τα σημεία \(Ε(5,0)\), \(Ε'(-5,0)\) και διέρχεται από το σημείο \(Α(4,0)\).

α) Να αποδείξετε ότι έχει εκκεντρότητα \(\dfrac{5}{4}\).
(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της \(C\).
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της \(C\) στο σημείο της \(Μ(5,\dfrac{9}{4})\).
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ
α) Η \(C\) έχει εστίες τα σημεία \(Ε(5,0)\), \(Ε'(-5,0)\) οπότε έχει εξίσωση της μορφής \(\dfrac{x^{2}}{α^{2}}-\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\) και \(γ=5\). Αφού διέρχεται από το σημείο \(Α(4,0)\) έχουμε ότι:

$$\dfrac{4^{2}}{α^{2}}-\dfrac{0^{2}}{β^{2}}=1$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{16}{α^{2}}=1$$ $$\Leftrightarrow α^{2}=16$$

και επειδή \(α>0\) έχουμε τελικά ότι \(α=4\). Συνεπώς έχει εκκεντρότητα:

$$ε=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{5}{4}$$

β) Από τη σχέση \(γ^{2}=α^{2}+β^{2}\) έχουμε ότι:

$$5^{2}=4^{2}+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow β^{2}=9$$

και επειδή \(β>0\) έχουμε \(β=3\).

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$$

γ) Η εφαπτόμενη στο \(Μ(5,\dfrac{9}{4})\) έχει εξίσωση:

$$\dfrac{5⋅x}{16}-\dfrac{\dfrac{9}{4}⋅y}{9}=1$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{5x}{16}-\dfrac{y}{4}=1$$