Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4245 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 21657 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023 Ύλη: 3.4 Η Υπερβολή 3.5 Η Εξίσωση Αx²+Βy²+Γx+Δy+Ε=0
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 21657
Ύλη: 3.4 Η Υπερβολή 3.5 Η Εξίσωση Αx²+Βy²+Γx+Δy+Ε=0
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Έστω υπερβολή \(C\) με κέντρο το \((0,0)\), εστίες πάνω στον άξονα \(xx'\) της οποίας το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο.

α) Να βρείτε:

  1. τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της \(C\).
    (Μονάδες 6)

  2. την εκκεντρότητα της \(C\).
    (Μονάδες 6)

β) Αν η υπερβολή διέρχεται από το σημείο \((2,0)\) και \((ζ)\) τυχαίαευθεία παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \(C\) (που δεν ταυτίζεται με κάποια από αυτές),

  1. να δείξετε ότι η \((ζ)\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \(C\).
    (Μονάδες 8)

  2. είναι η ευθεία \((ζ)\) εφαπτόμενη της \(C\); Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
    (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Η υπερβολή \(C\) έχει κέντρο το \((0,0)\) και εστίες στον άξονα \(xx'\), οπότε θα έχει ασύμπτωτες της μορφής \(y=\dfrac{β}{α}x , y=-\dfrac{β}{α}x\). Αφού το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι \(α=β\) δηλαδή είναι ισοσκελής υπερβολή. Συνεπώς:

  1. οι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής \(C\) είναι \(y=x,y=-x\).
  2. για την εκκεντρότητα \(ε\) της \(C\) ισχύει ότι \(ε^{2}=1+(\dfrac{β}{α})^{2}=1+1=2\) και επειδή \(ε>0\) έχουμε τελικά ότι \(ε=\sqrt{2}\).

β) Αφού η \((ζ)\) είναι παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \(C\), θα έχει εξίσωση της μορφής \(y=x+κ\) ή \(y=-x+κ\) με \(κ≠0\). Η ισοσκελής υπερβολή \(C\) θα έχει εξίσωση της μορφής \(x^{2}-y^{2}=α^{2}\). Αφού διέρχεται από το σημείο \((2,0)\) έχουμε ότι:

$$2^{2}-0^{2}=α^{2}$$ $$\Leftrightarrow 4=α^{2}$$ $$\overset{α>0}{\Leftrightarrow }α=2$$

Το πλήθος των κοινών σημείων της \(C\) και της ευθείας \((ζ)\) είναι ίδιο με το πλήθος των λύσεων καθενός από τα συστήματα \(\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\ y=x+κ\end{cases}\) και \(\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\ y= - x+κ\end{cases}\).

Λύνουμε το 1ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^{2}-(x+κ)^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}-2xκ-κ^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow -2xκ=4+κ^{2}$$ $$\overset{κ≠0}{\Leftrightarrow }x=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$

Ομοίως λύνουμε το 2ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^{2}-(-x+κ)^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}+2xκ-κ^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow 2xκ=4+κ^{2}$$ $$\overset{κ≠0}{\Leftrightarrow }x=\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$

  1. Σε κάθε περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι η \((ζ)\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \(C\).

  2. Επειδή σε κάθε περίπτωση η μοναδική λύση του συστήματος προέκυψε από εξίσωση 1ου βαθμού και όχι από 2ου με διακρίνουσα \(0\), η ευθεία \((ζ)\) δεν είναι εφαπτόμενη της \(C\). Απλά την τέμνει σε ένα σημείο χωρίς όμως το σημείο αυτό να είναι σημείο επαφής. Δηλαδή η \((ζ)\) διαπερνά τη \(C\).

Σημείωση: το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει για κάθε υπερβολή και ευθεία παράλληλη σε κάποια από τις ασύμπτωτες και όχι μόνο για τις ισοσκελείς.