ΘΕΜΑ 4
4.1. Κατά την διάρκεια της κρούσης το σύστημα θεωρείται μονωμένο και ισχύει η Α.Δ.Ο.:

$$\vec{P}_{\text{πριν}}=\vec{P}_{\text{μετα}}$$

$$mυ+0=(m+M)V_{\text{συσ}}$$ $$\Leftrightarrow 50\cdot 10^{-3}\ kg\cdot 200\cdot \sqrt{15}\ \dfrac{m}{s}=5\ kg\cdot V_{\text{συσ}}$$ $$\Leftrightarrow V_{\text{συσ}}=2\cdot \sqrt{15}\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 7

4. 2. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση, λόγω της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης αντίστασης που του ασκούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Αρχικά υπολογίζουμε το μέτρο της δύναμης αντίστασης:

$$F_{αν}=0,1m_{\text{συσ}}g=0,1\cdot (m+M)\cdot g$$ $$\Leftrightarrow F_{αν}=5\ N$$

Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το συσσωμάτωμα, από την θέση Φ.Μ. του ελατηρίου όπου έγινε η κρούση έως την θέση που σταματά στιγμιαία.

$$ΔK=ΣW$$ $$\Leftrightarrow K_{\text{τελ}}-Κ_{\text{αρχ}}=W_{w}+W_{N}+W_{F_{\text{ελ}}}+W_{F_{\text{αν}}}$$ $$\Leftrightarrow 0-\dfrac{1}{2}(m+M)V_{συσ}^{2}=0+0+(U_{αρχ}^{ελ}-U_{τελ}^{ελ})-F_{αν}Δl_{\text{max}}$$ $$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}(m+M)V_{συσ}^{2}=-\dfrac{1}{2}kΔl_{max}^{2}-F_{αν}Δl_{\text{max}}$$ $$\Leftrightarrow 150\ J=5\ \dfrac{N}{m}\cdot Δl_{max}^{2}+5\ N\cdot Δl_{\text{max}}$$ $$\Leftrightarrow Δl_{max}^{2}+Δl_{\text{max}}-30=0$$ $$\Leftrightarrow Δl_{\text{max}}=\dfrac{-1±\sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot (-30)}}{2}$$ $$\Leftrightarrow Δl_{\text{max}}=5\ m$$

Η τιμή \(Δl_{\text{max}}=5\ m\) αναφέρεται στη ζητούμενη συσπείρωση του ελατηρίου.
Η αρνητική τιμή που προκύπτει αντιστοιχεί στην μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου η οποία δεν ζητείται.
Μονάδες 9

4. 3. Η εξίσωση ταλάντωσης είναι της μορφής :

$$x=Aημ(ωt+φ_{0})$$

Για το πλάτος της ταλάντωσης είναι:

$$Α=Δl_{\text{max}}=5\ m$$

Επίσης ισχύει:

$$D=k=(m+M)ω^{2}$$ $$\Leftrightarrow ω=\sqrt{\dfrac{k}{m+M}}=\sqrt{2}\ \dfrac{rad}{s}$$

Και για την αρχική φάση:

$$\text{Για } t=0 \text{ , } x=A=5\ m$$ $$5\ m=5\ m\cdot ημ(ω\cdot 0+φ_{0})$$ $$\Leftrightarrow ημφ_{0}=1=ημ\dfrac{π}{2}$$ $$φ_{0}=2κπ+\dfrac{π}{2}\ \ \text{και}\ \ φ_{0}=2κπ+π-\dfrac{π}{2}$$

και άρα:

$$φ_{0}=\dfrac{π}{2}\ rad$$

Οπότε η ζητούμενη εξίσωση ταλάντωσης θα είναι:

$$x=5ημ(\sqrt{2}t+\dfrac{π}{2})\ \ \ \ \text{S.I.}$$

Η σχέση της συνισταμένης δύναμης στον ταλαντωτή με την απομάκρυνση είναι:

$$ΣF=-D\cdot x$$ $$\Leftrightarrow ΣF=-10\cdot x \ \ \ \ \text{S.I.}$$

Μονάδες 9