Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 3737 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Τάξη: | Γ' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 26605 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 24-Φεβ-2023 | Ύλη: | 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Γ' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 26605 | ||
Ύλη: | 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται συνεχής συνάρτηση \(f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) για την οποία ισχύουν:
- \(f^{2} (x) - 5 = x^{2}\) για κάθε \(x \in\mathbb{R}\)
- \(f(2)=3\)
α) Να αποδείξετε ότι :
\(f(x) \ne 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 4)\(f(x) = \sqrt{x^{2}+ 5}\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 5)
β) Δίνεται η συνάρτηση \(g\) με \(g(x) = x^{2} – συνx\), με \(x \in \mathbb{R}\). Nα αποδείξετε ότι:
Η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \((-∞, 0]\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \([0, +∞)\).
(Μονάδες 7)Η εξίσωση \(f^{2}(x) = 5 + συνx\) έχει ακριβώς δυο ρίζες,αντίθετες μεταξύ τους, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \((-π,π)\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α)
i.Ισχύει ότι \(f^{2}(x) - 5 = x^{2}\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ή \(f^{2}(x) = x^{2} + 5\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
$$f(x) = 0 $$ $$\Leftrightarrow f^{2} (x) = 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+5=0\text{,}\ \ \text{αδύνατο}$$
Οπότε \(f(x) \ne 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
ii.Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(R\) με \(f(x) \ne 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Οπότε η \(f\) διατηρεί πρόσημο στο \(\mathbb{R}\). Δίνεται ότι \(f(2) = 3>0\), οπότε η συνάρτηση \(f\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Ισχύει:
$$f^{2} (x) = x^{2} + 5 $$ $$\Leftrightarrow |f(x)| = \sqrt{x^{2}+ 5}$$
και επειδή η \(f\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), θα ισχύει \(f(x) = \sqrt{x^{2}+ 5}\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
β)
i.Αν \(g(x) = x^{2} – συνx\), με \(x \in \mathbb{R}\), \(g'(x) = 2x + ημx\) και \(g''(x) = 2 + συνx\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Παρατηρούμε ότι \(g''(x) > 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), αφού \(1≤ 2 + συνx≤ 3\), και η συνάρτηση \(g'(x)\) είναι συνεχής στο \(\mathbb{R}\), οπότε η συνάρτηση \(g'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Για \(x < 0\) ισχύει \(g'(x) < g'(0) = 0\), αφού η συνάρτηση \(g'\) είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για \(x > 0\) ισχύει \(g'(x) > g'(0) = 0\). Άρα για τη συνάρτηση \(g\) έχουμε:
\(g\) συνεχής στο \((-∞, 0]\) με \(g'(x) < 0\) στο \((-∞, 0)\), άρα η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-∞, 0]\).
Αντίστοιχα \(g\) συνεχής στο \([0, +∞)\) με \(g'(x) > 0\) στο \((0, +∞)\), άρα η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0, +∞)\).
(Η συνάρτηση \(g\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(0\) το \(g(0) = -1\)).
ii.Η εξίσωση \(f^{2}(x) = 5 + συνx\) με \(x \in \mathbb{R}\), γράφεται ισοδύναμα:
$$x^{2} + 5 = 5 + συνx$$ $$\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 $$ $$\Leftrightarrow g(x) = 0\ \ \text{με}\ \ x \in \mathbb{R}$$
Ζητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση \(g(x) = 0\) έχει δύο ρίζες αντίθετες στο \((-π,π)\) και δεν έχει άλλες ρίζες στο \(\mathbb{R}\).
Η συνάρτηση \(g\) είναι συνεχής στο \([0,π]\), με:
\(g(π)= π^{2} – συνπ = π^{2} +1 >0\)
\(g(0) = -συν0 = -1 <0\)
Η συνάρτηση \(g\) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα \([0,π]\), οπότε η εξίσωση \(g(x) = 0\) έχει τουλάχιστον μια ρίζα \(ρ \in (0, π) ⊂(0, +∞)\). Επιπλέον η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \([0, +∞)\), οπότε η ρίζα \(ρ\) είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.
Επειδή \(g(-ρ) = (-ρ)^2 - συν(-ρ) = ρ^2 – συνρ = g(ρ) = 0\), άρα και το \(-ρ\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(g(x)=0\). Επειδή \(0 < ρ < π \Leftrightarrow -π < -ρ < 0\), η ρίζα \(-ρ\) της εξίσωσης \(g(x)=0\) βρίσκεται στο διάστημα \((-π, 0)\).
Επιπλέον η ρίζα \(-ρ\) είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης \(g(x)=0\) στο διάστημα \((-∞, 0]\) αφού η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.
Άρα η εξίσωση \(g(x)=0 \Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 \Leftrightarrow f^{2} (x) = 5 + συνx\) με \(x \in \mathbb{R}\) έχει ακριβώς δύο ρίζες αντίθετες μεταξύ τους οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \((-π,π)\).