ΛΥΣΗ

α) Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε \(x∈\mathbb{R}\) ισχύει:

$$\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}≥e^{-x}$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1≥e^{x}\cdot e^{-x}$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1≥1$$ $$\Leftrightarrow x^{2}≥0$$

Ισχύει το ίσον αν και μόνον αν \(x=0\).

β)
Από την εκφώνηση έχουμε τα σημεία \(Δ(0, f(x))\) και \(Ζ(0,g(x))\).

Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι:

$$E(x)=(ΒΓΖΔ)$$ $$=(ΒΓ)\cdot (ΓΖ)$$ $$=(f(x)-g(x))\cdot x$$

άρα:

$$E(x)=x\left(\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}-e^{-x}\right)$$ $$=x\cdot \dfrac{x^{2}+1-1}{e^{x}}$$ $$=\dfrac{x^{3}}{e^{x}}\ \text{,}\ x>0$$

Για κάθε \(x>0\) έχουμε:

$$E'(x)=\dfrac{(x^{3})'e^{x}-x^{3}(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}$$ $$=\dfrac{3x^{2}e^{x}-x^{3}e^{x}}{(e^{x})^{2}}$$ $$=\dfrac{x^{2}e^{x}(3-x)}{(e^{x})^{2}}$$ $$=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}(3-x)$$

Άρα, έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών.

Έτσι για \(x=3\) το εμβαδόν του ορθογωνίου \(ΒΓΖΔ\) μεγιστοποιείται.

γ) Αφού \(h(x)>0\) για κάθε \(x∈[ln2, 1]\) και \(h(x)\) συνεχής, το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:

$$E=\operatorname{\Large\int}_{ln2}^{1}h(x)dx$$ $$=\operatorname{\Large\int}_{ln2}^{1}xe^{-x}dx$$ $$=\operatorname{\Large\int}_{ln2}^{1}x(-e^{-x})'dx$$ $$=\left[-xe^{-x}\right]\array{1 \cr ln2}+\operatorname{\Large\int}_{ln2}^{1}(x)'e^{-x}dx$$ $$=-e^{-1}+\dfrac{ln2}{e^{ln2}}+\left[-e^{x}\right]\array{1 \cr ln & 2}$$ $$=-\dfrac{1}{e}+\dfrac{ln2}{2}-\left(e^{1}-\dfrac{1}{e^{ln2}}\right)$$ $$=-\dfrac{1}{e}+\dfrac{ln2}{2}-\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{2}$$ $$=\dfrac{1+ln2}{2}-\dfrac{2}{e}$$ $$=\dfrac{1}{2}\ln{(2e)}-\dfrac{2}{e}$$ $$=ln\sqrt{2e}-\dfrac{2}{e}\ \text{τετραγωνικές μονάδες}$$