ΛΥΣΗ

α) Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά το κοινό σημείο ${\rm M}$ των ευθειών ${\epsilon }_1:2x+y=6$ και ${\epsilon }_2:x-2y=-2$, θα λύσουμε το σύστημα (επιλέγουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών):

$$\{\begin{array}{l}2x+y=6\\ x-2y=-2\end{array}$$ $$\stackrel{(\cdot 2)}{\iff }\{\begin{array}{l}4x+2y=12\\ x-2y=-2\end{array}$$ $$\stackrel{(+)}{\iff }\{\begin{array}{l}5x=10\\ x-2y=-2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ 2-2y=-2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ -2y=-4\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}$$

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το ${\rm M}(2,2)$.

β) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου ${\rm M}$ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας ${\epsilon }_3:3x+y=8$, αφού $3\cdot 2+2=8$. Άρα η ευθεία $({\epsilon }_3)$ διέρχεται από το ${\rm M}(2,2)$.