Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 2716 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Γ' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 31643 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Φεβ-2023 Ύλη: 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Γ' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 31643
Ύλη: 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\), \(x∈[1,2]\).

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([1,2]\).
(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(4x^{3}-9x^{2}-2x+9\) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα \((1,2)\).
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([1,2]\), διότι:

  • είναι συνεχής στο \([1,2]\) ως πολυωνυμική
  • είναι παραγωγίσιμη στο \((1,2)\) με \(f'(x)=4x^{3}-9x^{2}-2x+9\) και
  • ισχύει \(f(1)=f(2)=6\).

β) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\) ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(ξ∈(1,2)\) τέτοιο, ώστε \(f'(ξ)=0\) ή ισοδύναμα \(4ξ^{3}-9ξ^{2}-2ξ+9=0\).

Επομένως, το \(ξ∈(1,2)\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(4x^{3}-9x^{2}-2x+9=0\).