Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 2739 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Γ' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 32390 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Φεβ-2023 Ύλη: 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Γ' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 32390
Ύλη: 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-4x+2, x∈[0,2]\).

α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης \(f\) στο διάστημα \([0,2]\), είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η \(f\) δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.

Η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με \(f'(x)=4x^{3}-4\) για κάθε \(x∈[0,2]\). Είναι:

$$f'(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4x^{3}-4=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{3}=1 $$ $$\Leftrightarrow x=1$$

Επομένως, η \(f\) έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το \(x_{0}=1\).

β) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της \(f\).
  • Υπολογίζουμε τις τιμές της \(f\) στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.
  • Από αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της \(f\).

Οι τιμές της \(f\) στο κρίσιμο σημείο της \(x_{0}=1\) και στα άκρα του διαστήματος \([0,2]\) είναι:

$$f(1)=-1\text{,}\ \ f(0)=2\ \ \text{και}\ \ f(2)=10$$

Άρα, η μέγιστη τιμή της \(f\) στο \([0,2]\) είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της \(f\) στο \([0,2]\) είναι ίση με \(-1\).