Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 8406 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 32677 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023 Ύλη: 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 32677
Ύλη: 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(φ(x)=-x^{2}\), \(x∈\mathbb{R}\) και \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), \(x∈\mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=-(x-1)^{2}+2\) για κάθε \(x∈\mathbb{R}\) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(φ\), που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f\).

(Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) να βρείτε:

  1. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως μονότονη.
    (Μονάδες 5)

  2. Το ολικό ακρότατο της \(f\) καθώς και τη θέση του.
    (Μονάδες 5)

  3. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=κ, κ<2\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
    (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) διαδοχικά γράφεται:

$$\begin{align} f(x) &=-x^{2}+2x+1 \\ &=-x^{2}+2x-1+2 \\ &=-(x^{2}-2x+1)+2 \\ &=-(x-1)^{2}+2\end{align}$$

Εναλλακτικά, ξεκινώντας από το ζητούμενο έχουμε:

$$\begin{align} -(x-1)^{2}+2 &= -(x^{2}-2x+1)+2 \\ &=-x^{2}+2x-1+2 \\ &=-x^{2}+2x+1\\ &=f(x)\end{align}$$

Παρατηρούμε ότι \(f(x)=φ(x-1)+2\). Άρα, η γραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ\) κατά μία μονάδα δεξιά και δύο μονάδες επάνω:

β)

  1. Από τη γραφική της παράσταση, προκύπτει ότι η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \((-∞,1]\) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \([1,+∞)\).

  2. Η \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x_{0}=1\) το \(f(1)=2\).

  3. Οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=κ\), \(κ<2\) είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με την οριζόντια ευθεία \(y=κ\). Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι για \(κ<2\), υπάρχουν δύο σημεία τομής. Άρα, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.