Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6623 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 32682 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 32682
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α)

  1. Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου \(x^{2}+9x+18\).

(Μονάδες 4)

  1. Να λύσετε την εξίσωση \(|x+3|+|x^{2}+9x+18|=0\).

(Μονάδες 7)

β)

  1. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου \(x^{2}+9x+18\), για τις διάφορες τιμές του αριθμού \(x\).

(Μονάδες 7)

  1. Να βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει:

$$|x^{2}+9x+18|=-x^{2}-9x-18$$

(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α)

  1. Το τριώνυμο \(x^{2}+9x+18\) έχει \(α=1\), \(β=9\), \(γ=18\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=9^{2}-4\cdot 1\cdot 18=81-72=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-9\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-9+3}{2}=-3 \\ \dfrac{-9-3}{2}=-6 \end{cases}$$

  1. Επειδή \(|x+3|\ge 0\) και \(|x^{2}+9x+18|\ge 0\), ισοδύναμα βρίσκουμε:

$$|x+3|=0\ \ \text{και}\ \ |x^{2}+9x+18|=0 $$ $$\Leftrightarrow x+3=0\ \ \text{και}\ \ x^{2}+9x+18=0 $$ $$\overset{(ai)}{\Leftrightarrow} x=-3\ \ \text{και}\ \ \{x=-3\ \ \text{ή}\ \ x=-6\}$$

Άρα, τελικά \(x=-3\).

β)

  1. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}+9x+18<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-6,-3)$$

και

$$x^{2}+9x+18>0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-6)\cup (-3,+\infty)$$

  1. Η εξίσωση γράφεται:

$$|x^{2}+9x+18|=-(x^{2}+9x+18),$$

που ισχύει αν και μόνο αν:

$$x^{2}+9x-18\le 0$$

Άρα, από το ερώτημα (βi) συμπεραίνουμε ότι \(x\in [-6,-3]\).