Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5183 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 32741 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 32741
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Στην Α’ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται τον Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα:
«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε \(x\) σειρές με \(x-1\) μαθητές σε κάθε σειρά. Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε \(x+3\) σειρές με \(x-3\) μαθητές σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής».

α) Να βρείτε την τιμή του \(x\).
(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε η Α΄ τάξη έχει \(90\) μαθητές.
(Μονάδες 6)

γ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω \(90\) μαθητές σε \(ν\) ομάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε \(2\) μαθητές και σε κάθε επόμενη ομάδα να πηγαίνουν \(2\) παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιμή του \(ν\), δηλαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν.
(Μονάδες 13)

α) Στην πρώτη περίπτωση το πλήθος των μαθητών είναι \(x(x - 1)\) ενώ στη δεύτερη \((x + 3)(x - 3) - 1\). Άρα πρέπει:

$$\begin{align}&x(x - 1) = (x + 3)(x - 3) - 1 \\ \iff&x^2 - x = x^2 - 3^2 - 1 \\ \iff&- x = - 9 - 1 \\ \iff&x = 10\end{align}$$

β) Αντικαθιστούμε στον τύπο \(x(x - 1)\) που δίνει το πλήθος των μαθητών όπου x = 10 και βρίσκουμε:

$$10(10 - 1) = 10 \cdot 9 = 90$$

Άρα, οι μαθητές της Α τάξης είναι 90.

γ) Το πλήθος των μαθητών στις \(ν\) ομάδες εργασίας είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_1 = 2\), διαφορά \(ω = 2\) και άθροισμα \(S_ν = 90\). Οπότε, από τον τύπο:

$$S_ν =\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν - 1)ω]$$

έχουμε ότι:

$$\begin{align}&90 = \dfrac{ν}{2}[2 \cdot 2 + (ν - 1)2] \\ \iff&90 = \dfrac{ν}{2}(4 + 2ν - 2) \\ \iff&90 = 2ν + ν^2 - ν \\ \iff&ν^2 + ν - 90 = 0\end{align}$$

Η τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \(ν\) με \(α=1\), \(β=1\), και \(γ=-90\). Η διακρίνουσα είναι:

$$\begin{align}Δ &= β^2 - 4αγ \\ &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- 90) \\ &= 1 + 360 \\ &= 361 > 0\end{align}$$

και έχει ρίζες τις:

$$\begin{align}ν_{1,2} &= \dfrac{-β\pm\sqrt{Δ}}{2α}\\ &=\dfrac{-1\pm\sqrt{361}}{2\cdot1}\\ &=\dfrac{-1\pm19}{2}\\ &=\begin{cases}\dfrac{-1+19}{2}=9\\ \dfrac{-1-19}{2}=-10\end{cases}\end{align}$$

Η τιμή \(ν = - 10\) απορρίπτεται διότι \(ν\in\mathbb{N}\). Άρα θα δημιουργηθούν \(ν = 9\) ομάδες εργασίας.