Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5458 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33579 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33579
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Οι αριθμοί : \(x^{2}+5,\ x^{2}+x,\ 2x+4\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού \(x\).
(Μονάδες 6)

β) Αν \(x=3\) και ο αριθμός \(x^{2}+5\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:
i. τη διαφορά \(ω\) της αριθμητικής προόδου,
(Μονάδες 5)

ii. τον πρώτο όρο της προόδου,
(Μονάδες 6)

iii. το άθροισμα \(S=α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\).
(Μονάδες 8)

α) Οι αριθμοί: \(x^{2}+5,x^{2}+x, 2x+4\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, οπότε ισχύει η σχέση:

$$2(x^{2}+x)=(2x+4)+(x^{2}+5)$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$2x^{2}+2x=x^{2}+2x+9$$ $$x^{2}=9$$ $$x=3 \text{ ή } x=-3$$

β)
i.
Αν ο αριθμός \(x^{2}+5\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, τότε ο \(x^{2}+x\) θα είναι ο 5ος όρος της.
Άρα για \(x=3\), \(α_{4}=3^{2}+5=14\) και \(α_{5}=3^{2}+3=12\).
Οπότε \(ω=α_{5}-α_{4}=12-14=-2\)

ii. Ισχύει \(α_{4}=α_{1}+3ω\), δηλαδή \(14=α_{1}+3\cdot (-2)\), οπότε \(α_{1}=20\).

iii. Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$$\begin{align} S & =α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\\ &=\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{24}\Big)-\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{14}\Big)\\ & =S_{24}-S_{14}\\ &=\dfrac{24}{2}\cdot \Big[2\cdot 20+23\cdot (-2)\Big]-\dfrac{14}{2}\cdot \Big[2\cdot 20+13\cdot (-2)\Big] \\ &=12\cdot (40-46)-7\cdot (40-26)\\ &=-170\end{align}$$