Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5515 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33584 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33584
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση: \(x^{2}-2x+λ=0\), με παράμετρο \(λ<1\).

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) διαφορετικές μεταξύ τους.
(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι: \(x_{1}+x_{2}=2\).
(Μονάδες 4)

γ) Αν για τις ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) ισχύει επιπλέον \(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\), τότε:

  1. Να δείξετε ότι: \(x_{1}-x_{2}=4\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε τις ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) και η τιμή του \(λ\).
    (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot λ$$ $$=4-4λ>0$$

αφού:

$$λ<1$$ $$\overset{\cdot (-4)}{ \Leftrightarrow }-4λ>-4$$ $$\overset{(+4)}{ \Leftrightarrow }4-4λ>0$$

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) διαφορετικές μεταξύ τους.

β) Έχουμε: \(x_{1}+x_{2}=S=\dfrac{-β}{α}=\dfrac{-(-2)}{1}=2\).

γ)

  1. Έχουμε \(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\), οπότε:

    $$\begin{cases} x_{1}-2=x_{2}+2 \\ ή \\ x_{1}-2=-x_{2}-2 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ ή \\ x_{1}+x_{2}=0 \end{cases}$$

    που απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.

    Άρα \(x_{1}-x_{2}=4\).

  2. Από τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε \(x_{1}+x_{2}=2\) και \(x_{1}-x_{2}=4\). Άρα:

    $$\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}$$ $$\overset{(+)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 2x_{1}=6 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=3 \\ x_{2}=-1 \end{cases}$$

    Το γινόμενο των ριζών είναι \(P=\dfrac{γ}{α}=λ\), οπότε \(λ=x_{1}x_{2}=-3\).