ΛΥΣΗ

α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου $\alpha x^2-({\alpha }^2-1)x-\alpha$, με $\alpha \ne 0$ είναι:

$$\Delta =[-({\alpha }^2-1){]}^2-4\cdot \alpha \cdot (-\alpha )$$ $$=({\alpha }^2-1{)}^2+4{\alpha }^2$$ $$={\alpha }^4-2{\alpha }^2+1+4{\alpha }^2$$ $$={\alpha }^4+2{\alpha }^2+1$$ $$=({\alpha }^2+1{)}^2$$

β) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι $\Delta >0$ για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $\alpha$, οπότε η εξίσωση $\alpha x^2-({\alpha }^2-1)x-\alpha =0$ έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

$${\rho }_1={\displaystyle \frac{-[-({\alpha }^2-1)]+\sqrt{({\alpha }^2+1{)}^2}}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{({\alpha }^2-1)+({\alpha }^2+1)}{2\alpha }}=\alpha$$

$${\rho }_2={\displaystyle \frac{-[-({\alpha }^2-1)]-\sqrt{({\alpha }^2+1{)}^2}}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{({\alpha }^2-1)-({\alpha }^2+1)}{2\alpha }}=-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$

γ) Έχουμε:

$$|{\rho }_1-{\rho }_2|=2$$ $$\iff |\alpha -(-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }})|=2$$ $$\iff |\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}|=2$$ $$\iff |{\displaystyle \frac{{\alpha }^2+1}{\alpha }}|=2$$ $$\iff {\alpha }^2+1=2|\alpha |$$ $$\iff |\alpha {|}^2-2|\alpha |+1=0$$ $$\iff (|\alpha |-1{)}^2=0$$ $$\iff |\alpha |-1=0$$ $$\iff |\alpha |=1$$ $$\iff \alpha =\pm 1$$