Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3686 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33587 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33587
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\), \(x\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)$$

(Μονάδες 7)

γ) Αν \(-3<α<3\), να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \(-α^{2}+2|α|+3\).
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=2^{2}-4\cdot (-1)\cdot 3$$ $$=4+12=16>0$$

Το άθροισμα των ριζών του είναι:

$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=\dfrac{-2}{-1}=2$$

και το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{3}{-1}=-3$$

Άρα \(x_{1}=3\), \(x_{2}=-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

Οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για \(x\in (-1,3)\) και αρνητικές τιμές για \(x\in (-\infty ,-1)\cup (3,+\infty)\).

β) Εφόσον \(2,999\in (-1,3)\), από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι \(f(2,999)>0\) και επειδή \(-1,002<-1\) θα είναι \(f(-1,002)<0\). Άρα:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)<0$$

γ) Αν:

$$-3<α<3 \Leftrightarrow |α|<3$$

δηλαδή \(0\le |α|<3\), τότε ο αριθμός \(-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)\) είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) στο α) ερώτημα.