Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7613 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 33587 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 21-Μαΐ-2023 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 33587 | ||
Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\), \(x\in \mathbb{R}\).
α) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 9)
β) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:
$$f(2,999)\cdot f(-1,002)$$
(Μονάδες 7)
γ) Αν \(-3<α<3\), να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \(-α^{2}+2|α|+3\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=2^{2}-4\cdot (-1)\cdot 3$$ $$=4+12=16>0$$
Το άθροισμα των ριζών του είναι:
$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=\dfrac{-2}{-1}=2$$
και το γινόμενό τους είναι:
$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{3}{-1}=-3$$
Άρα \(x_{1}=3\), \(x_{2}=-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:
Οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για \(x\in (-1,3)\) και αρνητικές τιμές για \(x\in (-\infty ,-1)\cup (3,+\infty)\).
β) Εφόσον \(2,999\in (-1,3)\), από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι \(f(2,999)>0\) και επειδή \(-1,002<-1\) θα είναι \(f(-1,002)<0\). Άρα:
$$f(2,999)\cdot f(-1,002)<0$$
γ) Αν:
$$-3<α<3 \Leftrightarrow |α|<3$$
δηλαδή \(0\le |α|<3\), τότε ο αριθμός \(-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)\) είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) στο α) ερώτημα.