Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5334 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33597 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33597
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις \(C_{f}\) και \(C_{g}\) των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) αντίστοιχα, με:

$$f(x)=|x-2|\ \ \text{και}\ \ g(x)=1\text{ , } x\in \mathbb{R}$$

α) Με τη βοήθεια του παραπάνω σχήματος, να βρείτε:
i. τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\).
(Μονάδες 5)

ii. τις τιμές του \(x\in \mathbb{R}\), για τις οποίες η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\).
(Μονάδες 5)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα αi) και αii).
(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\in \mathbb{R}\) η παράσταση \(Α=\dfrac{\sqrt{1-f(x)}}{f(x)}\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς.
(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα βλέπουμε ότι:
i. τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι τα \(Α(1,1)\) και \(Β(3,1)\).
ii. η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) για \(x\in (1,3)\).

β)
i. Οι τετμημένες των σημείων τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow |x-2|=1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2|=1$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x-2=-1 \\ x-2=1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$$

Έχουμε επίσης \(f(1)=|1-2|=1=g(1)\) και \(f(3)=|3-2|=1=g(3)\), οπότε τα κοινά σημεία των δυο γραφικών παραστάσεων είναι τα \(Α(1,1)\) και \(Β(3,1)\).

ii. Οι τιμές του \(x\in \mathbb{R}\) για τις οποίες η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) είναι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x) < g(x) $$ $$\Leftrightarrow |x-2| < 1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2| < 1 $$ $$\Leftrightarrow -1 < x-2< 1 $$ $$\Leftrightarrow 2-1< x < 2+1 $$ $$\Leftrightarrow 1 < x < 3$$

δηλαδή η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) για \(x\in (1,3)\).

γ) Η παράσταση \(Α\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$\begin{cases} 1-f(x)\ge 0 \\ \text{και} \\ f(x)\ne 0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\le 1 \\ \text{και} \\ f(x)\ne 0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} |x-2|\le 1 \\ \text{και} \\ |x-2|\ne 0 \end{cases}$$ $$\overset{(βii)}{ \Leftrightarrow } \begin{cases} 1\le x\le 3 \\ \text{και} \\ x\ne 2 \end{cases}$$

Τελικά, η παράσταση \(Α\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς για \(x\in [1,2)\cup (2,3]\).