Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 8901 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33698 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33698
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=x^{2}-6x+λ-3\), με \(λ\in \mathbb{R}$\)

α) Να υπολογίσετε την διακρίνουσα \(Δ\) του τριωνύμου.
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τιμές του \(λ\) για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 7)

γ) Αν \(3<λ\lt12\) τότε:
I. Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες.
(Μονάδες 6)

ii. Αν \(x_{1},x_{2}\) με \(x_{1}\lt x_{2}\) είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και \(κ\), \(μ\) είναι δύο αριθμοί με \(κ\lt 0\) και \(x_{1}\lt μ\lt x_{2}\), να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου \(κ\cdot f(κ)\cdot μ\cdot f(μ)\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας
(Μονάδες 7)

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-6x+λ-3\) έχει \(α=1\), \(β=-6\), \(γ=λ-3\) και διακρίνουσα:

$$Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-3)$$ $$=36-4λ+12=48-4λ$$

β) Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$$Δ>0$$ $$\Leftrightarrow 48-4λ>0$$ $$\Leftrightarrow -4λ>-48$$ $$\Leftrightarrow λ\lt 12$$

γ) Το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι:

$$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{-6}{1}=6$$

και το γινόμενο των ριζών του είναι:

$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{λ-3}{1}=λ-3$$

Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν

$$Δ>0 \overset{(β)}{\Leftrightarrow} λ\lt 12$$

Επίσης, οι ρίζες είναι ομόσημες και θετικές αν και μόνο αν:

$$\begin{cases} P>0 \\ S>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ-3>0 \\ 6>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow λ>3$$

Άρα, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες και θετικές ρίζες αν και μόνο αν

$$λ\lt 12 \text{ και } λ>3 \Leftrightarrow 3\lt λ\lt 12$$

Επειδή ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(1>0\), το τριώνυμο είναι θετικό για τιμές του \(x\) εκτός των ριζών \(x_{1},x_{2}\) και αρνητικό εντός των ριζών.
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επειδή \(x_{1}<μ \lt x_{2}\) είναι \(μ>0\) αφού \(x_{1}>0\) και από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι:

$$f(μ)\lt 0$$

Επίσης, αφού \(κ\lt 0\) και \(0\lt x_{1}\) είναι \(κ\lt x_{1}\).
Άρα, από τον πίνακα προσήμων διαπιστώνουμε ότι

$$f(κ)>0$$

Τελικά είναι \(κ\lt 0, μ>0\), \(f(κ)>0\) και \(f(μ)\lt 0\). Οπότε:

$$κ\cdot f(κ)\cdot μ\cdot f(μ)>0$$